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人教B版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲
串讲02 第二章 等式与不等式
考场练兵
典例剖析
01
02
03
目
录
考点透视
01 考点透视
考点1 等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c；
(2)如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc.
考点2 方程组的解集
方程组中，由两个方程的解集____________称为这个方程组的解集．
状元随笔　当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
得到的交集
考点3 不等式的解集与不等式组的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
知识点二　绝对值不等式
含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
知识点三　数轴上两点间的距离及中点坐标公式
(1)距离公式：一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为________．
(2)中点坐标公式：A(a)，B(b)，线段AB的中点M对应的数为x，则x
＝________．
|a－b|
考点4．两个实数大小比较
考点5.不等式的性质
(3)可加性：a>b a＋c____b＋c；a>b，c>d a＋c____b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0 ac____bc；a>b，c<0 acb>0，c>d>0 ac____bd；
(5)可乘方性：a>b>0 an____bn(n∈N，n≥2)；
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b b(2)传递性：a>b，b>c a>c；
考点6.一元二次不等式
考点7.一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
考点8. 　一元二次函数图象变换
考点9. 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质
考点10. 基本不等式 两个重要的不等式
1．基本不等式
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
考点11. 利用基本不等式求最值
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______．
(2)已知x，y都是正数，如果x＋y的和等于定值S，那么当x＝y时，积
xy有最大值________．
利用基本不等式求最值要注意：
(1)满足“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．
(2)一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致(等号同时成立)．
提醒
常用结论
02 典例透析
考点透视
考点1 因式分解
【例题1】把下列各式分解因式：
(1)x2－3x＋2＝___________；
(2)x2＋37x＋36＝___________；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝______________；
(4)4m2－12m＋9＝___________．
解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)；
(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)；
(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28
＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]
＝(a－b＋4)(a－b＋7)；
(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.
(x－1)(x－2)
(x＋1)(x＋36)
(a－b＋4)(a－b＋7)
(2m－3)2
考点透视
考点2 一元一次方程的解集
【例题2】如果方程－8＝－的解集与方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1的解集相同，求式子a－的值．
解析：解方程－8＝－，
去分母，得2(x－4)－48＝－3(x＋2)，
去括号，得2x－8－48＝－3x－6，
移项、合并同类项，得5x＝50，
系数化为1，得x＝10.
把x＝10代入方程4x－(3a＋1)＝6x＋2a－1，
得4×10－(3a＋1)＝6×10＋2a－1，解得a＝－4.
当a＝－4时，a－＝－4－＝－.
考点透视
考点3 因式分解法解一元二次方程
【例题3】用因式分解法求下列方程的解集：
(1)x＝x；
(2)(x－3)2＋2x－6＝0；
(3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
考点透视
考点3 因式分解法解一元二次方程
解析：(1)x＝0，
即x＝0，所以x1＝0，x2＝，
所以该方程的解集为.
(2)(x－3)2＋2(x－3)＝0，
(x－3)(x－3＋2)＝0，
所以x－3＝0或x－1＝0，
所以x1＝3，x2＝1，所以该方程的解集为{3，1}．
(3)[3(2x＋3)＋2(2x－5)][3(2x＋3)－2(2x－5)]＝0，
所以(10x－1)(2x＋19)＝0，
所以10x－1＝0或2x＋19＝0，
所以x1＝，x2＝－.
所以该方程的解集为.
考点透视
考点4 方程根个数的判断及应用
【例题4】已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根．
解析：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．
(1)因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，即4(1－3k)>0，
所以k<.
(2)因为方程有两个相等的实数根，
所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，
所以k＝.
考点透视
方法归纳
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
(3)当Δ＜0时，方程没有实数根．
考点透视
考点5 直接应用根与系数的关系进行计算
【例题5】已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
；(2)|x1－x2|.
【解析】　由一元二次方程根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝－2.
(1)由上有
＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－2)＝.
(2)因为
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×(－2)＝，
所以
|x1－x2|＝＝.
考点6 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
【例题6】　(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)
A．－2或3　B．3 C．－2 D．－3或2
(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．
C
－3或9
考点6 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.
∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，
解得m＝6或m＝－2.
∴m＝－2.
(2)设x1，x2为方程的两个根，则，
|x1－x2|＝1，－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.
检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．
考点7.比较大小
考点8.不等式的性质及应用
考点9.利用不等式的性质证明不等式
考点10.求一元二次函数的解析式
考点11.一元二次函数图象的变换
考点12.解不含参数的一元二次不等式
考点12.解不含参数的一元二次不等式
考点13.解含参数的一元二次不等式
考点14. 三个“二次”之间的关系
考点14. 三个“二次”之间的关系
考点15.对基本不等式的理解
考点16.利用基本不等式求最值——无条件求最值
考点17.利用基本不等式求最值——有条件求最值
考点18. 利用基本不等式解决实际问题
考点18. 利用基本不等式解决实际问题
考点19.简单的分式不等式的解法
考点20.一元二次不等式的恒成立问题
考点21. 一元二次不等式在实际问题中的应用
考点22 利用基本不等式求最值 常数代换法
C
考点23 利用基本不等式求最值 消元法
【例题23】若正数x，y满足x2＋xy－3＝0，则4x＋y的最小值是(　　)
B
利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
反思感悟
03 考场练兵
1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　)
A．(－2，5)
B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2)
D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
A
A　由－x2＋3x＋10>0得x2－3x－10<0，解得－2

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