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人教B版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲
串讲03 函数
考场练兵
典例剖析
01
02
03
目
录
考点透视
01 考点透视
考点1.函数的概念,函数的定义域和值域
1．函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B(集合B一般默认为实数集R，因此常常略去不写．)中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．
考点2.同一函数
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
考点3.函数的表示方法
　
数学表达式
图象
表格
考点4.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
考点5.定义域为A的函数f(x)的单调性
　
f(x1)f(x1)>f(x2)
增函数
减函数
考点6.单调性与单调区间
　
如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．
单调性
单调区间
考点7.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
考点8.直线的斜率,函数的平均变化率
　
　一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当
x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．
　
1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是________0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是________0在I上恒成立．
一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的__________．
x1＝x2
＞
＜
平均变化率
考点9.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性
(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________
上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；
(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在
____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值
____________________.
f＝
f＝
考点10.偶、奇函数
1．偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有________，且___________，则称y＝f(x)为奇函数．
3．奇、偶函数的图像特征
(1)奇函数的图像关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图像关于________对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
－x∈D
f(－x)＝－f(x)
原点
y轴
考点11.函数的零点
　
1．零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
2．方程的根与函数零点的关系
交点的横坐标
零点
考点12.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 __________ __________ R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 __________ __________ __________
{x|xx2}
{x|x1

考点13. 几类常见函数模型
　
名称 解析式 条件
一次函数模型 y＝kx＋b k≠0
反比例函数模型 y＝＋b k≠0
二次函数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝a＋ a≠0
考点14.函数模型
知识点　
(1)一次函数模型
解析式：________．
(2)二次函数模型
①一般式：__________．
②顶点式：_____________，其中顶点坐标为________．
(3)分段函数模型
有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
y＝kx＋b
y＝ax2＋bx＋c
y＝a(x－h)2＋k
(h，k)
02 典例透析
考点1. 函数的定义
【例题1】(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].
③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．
④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．
A．0个　　B．1个
C．2个 D．3个
(2)下列对应是否是函数？
①x→，x≠0，x∈R；
②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.
(2)关键是否符合函数定义．
答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数
考点1. 函数的定义
解析：(1)
图号 正误 原因
① × x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
② √ 同时满足任意性与唯一性
③ × x＝2时，对应元素y＝3 N，不满足任意性
④ × x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性
(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义．
②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．
考点2.求函数的定义域
【例题2】求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝.
(1)分母不为0
(2)
(3)
考点2.求函数的定义域
　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠1且x≠2，
故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则
解得x<0且x≠－1.
所以定义域为(－∞，－1)
(3)要使函数有意义，则
解得－≤x<2，且x≠0.
故定义域为
考点3.同一函数
【例题3】试判断下列函数是否为同一函数．
(1)f(x)＝，g(x)＝x－1；
(2)f(x)＝，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝|x|，g(x)＝.
判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．
考点3.同一函数
解析：
序号 是否相同 原因
(1) 不同 定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R
(2) 不同 对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝
(3) 不同 定义域相同，对应关系不同
(4) 相同 定义域和对应关系相同
考点4.求函数值域
【例题4】求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(2)y＝＋1；
(3)先分离再求值域
(3)y＝；
(4)配方法求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．
考点4.求函数值域
【解析】　(1)因为－1所以函数y＝3－4x，x∈(－1，3]的值域是[－9，7)．
(2)因为y＝＝＝2－≠2，
所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠2}．
(3)函数的定义域为{1，2，3}，
当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，
当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，
当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，
所以这个函数的值域为{1，2}，
(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，
所以这个函数的值域为[1，＋∞)．
考点5.函数的表示方法
【例题5】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解析：(1)列表法：
x/台 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图像法：如图所示．
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
考点6.求函数的解析式
【例题6】(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为
________________；
(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝_____________.
(1)换元法
设x2＋2＝t.
(2)待定系数法
设f(x)＝ax＋b.
f(x)＝x2－4(x≥2)
2x－或－2x＋1
解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.
所以解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
考点7.求分段函数的函数值
【例题7】已知f(x)＝
根据不同的取值代入不同的解析式．

求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．
解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，
∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.
考点8.函数图像
【例题8】作出下列函数的图像：
(2)先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图像)．
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；
(3)关键是根据x的取值去绝对值．(3)y＝|1－x|.
考点8.函数图像
解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图像是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．

(2)由于0≤x<3，故函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．
(3)因为y＝|1－x|＝故其图像是由两条射线组成的折线，如图(c)．
考点9.利用函数图像求单调区间
【例题9】函数f(x)的图像如图所示，则(　　)
　　　　　　
A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数
D．函数f(x)在[2，4]上是增函数
图像上升或下降趋势判断．
答案：A
解析：函数单调性反映在函数图像上就是图像上升对应增函数，图像下降对应减函数，故选A.
考点10.函数的单调性判断与证明
【例题10】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
利用四步证明函数的单调性．
证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
考点11.利用函数的单调性求最值
【例题11】已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1，5]上的最值．
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，
x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
f(x1)－f(x2)＝＝.
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间上是单调递减的，
所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，
因此，函数f(x)＝在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
考点12.由函数的单调性求参数的取值范围

【例题12】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2
＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故a的取值范围为(－∞，－3].
考点13.三点共线问题
【例题13】(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　B．－2 C．2 D．不存在
(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．
答案：(1)B　(2)见解析
解析：(1)直线AB的斜率为＝－2，故选B.
(2)证明：直线AB的斜率为＝2，直线BC的斜率为＝2，因此A，B，C三点共线．
考点14.求函数的平均变化率
【例题14】函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均变化率为________．
－8－2Δx
解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx，即平均变化率为－8－2Δx.
考点15.用函数的平均变化率判断单调性
【例题15】　证明f(x)＝是定义域上的增函数．
证明：函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，
设 x1，x2∈[0，＋∞)且x1≠x2，
则＝＝，
＝＝＞0，
∴函数f(x)＝在定义域[0，＋∞)上是增函数．
考点16.函数奇偶性的判断
【例题16】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．
考点16.函数奇偶性的判断
解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)
即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
考点17. 函数奇偶性的图像特征
【例题17】如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图像，试比较f(1)与f(3)的大小．
方法一利用偶函数补全图像，再比较f(1)与f(3)的大小；
方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图像判断大小．
考点17. 函数奇偶性的图像特征
解析：方法一　因函数f(x)是偶函数，
所以其图像关于y轴对称，补全图如图．
由图像可知f(1)方法二　由图像可知f(－1)又函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(1)考点18.利用函数奇偶性求参数
【例题18】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为
[a－2，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________．
(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0，0)对称．
(2)f(0)＝0？
0
0
考点18.利用函数奇偶性求参数
解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，
故有a－2＋2a＝0，解得a＝.
又f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，
即－＝0，解得b＝0.
(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，
所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.
即2ax2＝0，所以a＝0.
考点19.函数的奇偶性和单调性的综合应用
【例题19】(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求实数a的取值范围．
(2)定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
考点19.函数的奇偶性和单调性的综合应用
解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0，1)．
(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等价于解得－1≤m<.
∴实数m的取值范围是.
考点1函数零点的概念及求法
跟踪训练1　若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．
由函数f(x)的零点是－3，得f(－3)＝0，求a.
解析：由题意知f(－3)＝0，
即(－3)2－3－a＝0，a＝6.
所以f(x)＝x2＋x－6.
解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.
所以函数f(x)其余的零点是2.
考点20.确定函数零点的个数
【例题20】(1)函数f(x)＝x－－2的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数．
答案：(1)B　(2)一个
考点20.确定函数零点的个数
解析：(1)令f(x)＝0得x－－2＝0，设t＝(t≥0)，则t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1(舍)．
故＝2即x＝4，因此方程f(x)＝0有一个根4，所以函数f(x)有一个零点．

(2)令f(x)＝x－3＋ln x＝0，则ln x＝－x＋3，在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图像，如图所示：由图可知函数y＝ln x，y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋ln x只有一个零点．
考点21.判断函数的零点所在的大致区间
【例题21】函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为(　　)
A.(0，1)　　　　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，3)　　　　　　　　　　D．(3，4)
利用f(a)·f(b)＜0求零点区间．
答案：C
解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2，3)．
考点22.函数零点的应用
【例题22】　已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实数a的值是________．
1
解析：如图，由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有三个交点，
则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根，因此a＝1.
考点22.函数零点的应用
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
答案：B
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
考点23.一次、二次函数模型
【例题23】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h时火车行驶的路程．
求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．
解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝ (h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为
s＝13＋120t.
离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km)．
考点24.分段函数
【例题24】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域．
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？
(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．
(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．
考点24.分段函数
解析：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3.
因为x∈N*，所以x≥3，所以3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115>0，得3x2－68x＋115<0.
解得2≤x≤20，又x∈N*，所以6故y＝
定义域为{x|3≤x≤20，x∈N*}．
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝＋(6185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．
考点25.一次函数模型的应用
【例题25】若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的(　　)
答案：B
解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A、C两项．故选B项．
考点26.二次函数模型的应用
【例题26】有A，B两城相距100 km，在A，B两城之间距A城x km的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．
(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？
考点26.二次函数模型的应用
解析：(1)由题意：y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝＋.
∵x≥10，且100－x≥10，
∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10，90].
(2)由二次函数知当x＝时，y最小，
因此当核电站建在距离A城 km时，供电费用最小．
考点27.分段函数模型的应用
【例题27】某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为R(x)＝5x－(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
考点27.分段函数模型的应用
解析：(1)设利润为L(x)，成本为C(x)．当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500台，故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)
＝
＝
(2)当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－－0.5，
当x＝4.75时，L(x)max＝10.781 25(万元)；
当x>5时，L(x)<12－1.25＝10.75(万元)．
∴生产475台时利润最大．
考点27.分段函数模型的应用
(3)由或
得5≥x≥4.75－≈0.11或5∴产品年产量在11台到4 800台时，工厂不亏本．
03 考场练兵
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞)　B．[1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，2)
答案：D
解析：使函数f(x)＝有意义，
则即x≥1，且x≠2.
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[0，3] B．(0，3)
C．(－∞，0]
答案：A
解析：要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.
3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　)
A．3x＋2 B．3x＋1
C．3x－1 D．3x＋4
答案：A
解析：方法一　令2x＋1＝t，则x＝.
∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.
方法二　∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.
4．函数f(x)＝x3－x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：D
解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
5．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(　　)
A．52 B．52.5
C．53 D．52或53
答案：D
解析：因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝＋，所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为(　　)
A．110元/个 B．105元/个
C．100元/个 D．95元/个
答案：D
解析：设每个商品涨价x元，利润为y元，则销售量为(400－20x)个，根据题意，有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.所以当x＝5时，y取得最大值，且为4 500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4 500元．
6．已知函数f(x)＝则f(2)等于(　　)
A．0 B．
C．1 D．2
答案：C
解析：f(2)＝＝1.
7．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　)
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
答案：A
解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图像下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.
8．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
答案：C
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
C
10.(多选)设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中错误的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0　 B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(x)·f(－x)＜0 D．f(0)＝0
答案：ACD
解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，
所以f(－x)－f(x)＝0正确，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．
f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，
f(0)＝0不一定成立．故选ACD.
2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是(　　)
ACD
题型剖析
11．下列图像表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
(2)(4)
(1)(3)
解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．

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