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人教B版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲
串讲 01 第一章
集合与常用逻辑用语
考场练兵
典例剖析
01
02
03
目
录
考点透视
01 考点透视
(1)集合中元素的三个特性：________、________、________．
(2)元素与集合的关系是______或________，用符号____或____表示．
(3)集合的表示法：________、________、________．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数 集(或自 然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 ____ N*(或N＋) ____ ____ ____
考点1．集合与元素
考点2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B?A)．
(3)相等：若A B，且________，则A＝B．
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是__________的子集，是______________的真子集．
考点3 集合的基本运算
表示运算　 集合语言 图形语言 记法
并集 ____________________ ________
交集 ____________________ ________
补集 ____________________ ________
考点 4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A．
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A．
(3)A∩( UA)＝ ，
A∪( UA)＝U，
U( UA)＝A．
常用结论
1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB．
3． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
考点 5.命题的概念及结构 充分条件与必要条件
命题
真命题
假命题
p
q
真命题
p q
充分条件
必要条件
充分条件
必要条件
考点 6.充要条件
p q
q p
p q
充要条件
充要条件
充要条件
p q
充要条件
考点 7.全称量词与全称量词命题
所有的
任意一个

全称量词
x∈M，
p(x)
考点 8.存在量词与存在量词命题
存在一个
至少有一个

存在量词
x∈M，p(x)
考点 9.全称量词命题的否定
x∈M，綈p(x)
存在量词
考点 10.存在量词命题的否定
x∈M， 非 p(x)
全称量词
考点 11.常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
02 典例透析
考点透视
考 点 1 集合的概念
B
考点透视
考 点 1 集合的概念
考点透视
反思感悟
1．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
考点透视
考 点 2 集合间的基本关系
【例题2】设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
B
考点透视
考 点 2 集合间的基本关系
考点透视
反思感悟
1．判定两集合关系的方法
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系．
(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合，从元素或图形中寻找关系．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意：(1)合理利用数轴、Venn图等直观分析解决问题．(2)求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解．
考点透视
考 点 3 集合的运算
【例题3】(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．
考点透视
考 点 3 集合的运算
A　因为U＝{x|x＝3k或x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}，所以 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A．
考点透视
考 点 4 利用集合的运算求参数的值(范围)
【例题4】设集合A＝{x|m－3＜x＜2m＋6}，B＝{x|log2x＜2}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．[－3，－1]
C．(－1，3) D．[－1，3]
D
考点透视
考 点 4 利用集合的运算求参数的值(范围)
考点透视
反思感悟
1．进行集合运算时， 首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．
2．数形结合思想的应用
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心．
考点透视
考 点 5 充分条件的判断
【例题5】给出下列三组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：这个四边形的对角线相等；
(3)p：x＋1＝0，q：(x＋1)(x－2)＝0.
试分别指出哪些命题中的p是q的充分条件？
(2)因为矩形的对角线相等，所以p q，所以p是q的充分条件．
(3)因为由x＋1＝0可得(x＋1)(x－2)＝0，即p q，
所以p是q的充分条件．
考点透视
考 点 6 必要条件的判断
解
考点透视
考 点7 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
考点透视
考 点7 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
考点 8. 　充要条件的判断　
解　 (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p q，
所以p不是q的充要条件．
(2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，
则a≠0，所以p q，所以p不是q的充要条件．
(3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p q，所以p是q的充要条件．
考点透视
考点 9. 　充要条件的证明　
证明　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.
①证明p q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
【例题9】(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
②证明q p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
考点透视
考点 10. 　探求充要条件
【例题10】 求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件．
考点透视
考点 11. 全称量词命题与存在量词命题的识别
【例题11】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“ ”或“ ”表示下列命题：
(1)圆内接四边形的对角互补；
(2)存在实数x，满足x2≥2；
(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；
(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
解：(1)是全称量词命题，表示为 圆内接四边形，其对角互补．
(2)是存在量词命题，表示为 x∈R，x2≥2.
(3)是存在量词命题，表示为 平行四边形，其对角线不互相垂直．
(4)是存在量词命题，表示为 a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．
考点透视
考点 12. 全称量词命题与存在量词,命题的真假判断
【例题12】判断下列命题的真假：
(1)任何实数都有平方根；(2)存在有理数x，使x2－2＝0；
(3) x∈R，x2－x＋1>0；(4) x∈Z，3x＋4＝5.
考点透视
考点 13. 含有量词的命题的应用
【例题13】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.
若p为真命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析
考点透视
考点 14. 全称量词命题的否定
【例题14】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
考点透视
考点 14. 全称量词命题的否定
考点透视
考 点 15 存在量词命题的否定
考点透视
考 点 15 存在量词命题的否定
考点透视
考 点 16 含有量词命题的否定的应用
【例题16】命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}．
解
03 考场练兵
1．已知a∈{0，1，2，3}，且a {1，2，3}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为a∈{0，1，2，3}，且a {1，2，3}，所以a的值为0.故选A.
3．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　)
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3解析：由题意可知，满足题设条件的只有D.
4．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{x∈R|x＋5>0}，则集合A与B的关系是(　　)
A．A∈B B．A B
C．B A D．A＝B
解析：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x>－5}，∴A B.故选B.
5．(2024·江苏连云港灌南高级中学高一上第二次月考)集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A B，A C，则满足条件的集合A的个数是(　　)
A．8 B．2
C．4 D．1
解析：因为A B，A C，所以集合A是{a，b}的子集，所以这样的集合A共有22＝4个．
6.(2024·辽宁六校协作体高一上期中)设集合A＝{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是(　　)
A．1 B．3
C．4 D．8
解析：因为A＝{1，2}，A∪B＝{1，2，3}，所以B＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}．故选C.
7．(2024·海口市第一中学高一上期中)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则( RS)∪T＝(　　)
A．{x|－2C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}
解析：因为S＝{x|x>－2}，所以 RS＝{x|x≤-2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，所以( RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．
8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥4 B．a≤4
C．a≥5 D．a≤5
解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，因为x∈A＝{x|1≤x≤2}，又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4 a≥5，a≥5 a≥4，故选C.
9．已知p：(a＋b)(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
10．(多选)已知集合A＝{x|－1(　　)
A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪( RB)＝{x|x≤－1，或x>2}
D．A∩( RB)＝{x|2解析：∵A＝{x|－12}，∴A∪( RB)＝{x|－12}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩( RB)＝{x|－12}＝{x|211．(多选)(2024·山东日照国开中学高一上第一次月考)下列命题中为真命题的是(　　)
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>3”是“x2>4”的充分条件
12．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________．
解析：方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是“a<－1”．
a<－1
解　∵M∩N＝{3}，∴3∈M，
∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，
解得a＝－1或4.
当a＝－1时，集合N中的元素不满足互异性，舍去；
当a＝4时，M＝{1，2，3}，N＝{－1，3，4}，符合题意．
∴a＝4.
14.(2024·河北保定定州高一上期中)已知集合M＝{1，2，a2－3a－1}，N＝{－1，a，3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．

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