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天津市咸水沽第二中学 2026 届高三上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
1.已知集合 = { ∣ ∈ N，且 ≤ 5}, = 2,4 , = 2,3 ，则 ( ∪ ) =( )
A. 1,5 B. {2} C. 0,1,5 D. 3,4
2.在 中，“sin2 = sin2 ”是“ = ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.设 = log 7, = 21.13 , = 0.83.1，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.根据分类变量 与 的观测数据，计算得到 2 = 2.974.依据 = 0.05 的独立性检验，结论为( )．
0.1 0.05 0.01 0.0050.001
2.7063.8416.6357.89710.828
A.变量 与 不独立
B.变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05
C.变量 与 独立
D.变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05
5.函数 = 3 3 cos π π在区间 2 , 2 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
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6.将 6 名志愿者安排到 4 个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排 1 名志愿者，每名志愿
者只能到一个社区，则不同排法共有( )
A. 480 种 B. 1560 种 C. 2640 种 D. 640 种
7 ( ) =
2 + 2 + 3, ≤ 1
.若函数 + 1, > 1是 上的减函数，则 的取值范围是
A. [ 3, 1] B. ( ∞, 1] C. [ 1,0) D. [ 2,0)
8.已知圆台的上、下底面圆的半径分别为 1 和 3，母线为 2 2，则圆台的表面积为( )
A. 263 π B. 10 + 8 2 π C. 10 + 16 2 π D. 18π
9.若定义在 的奇函数 ( )在( ∞, 0)单调递减，且 (2) = 0，则满足 ( 1) ≥ 0 的 的取值范围是( )
A. [ 1,1] ∪ [3, + ∞) B. [ 3, 1] ∪ [0,1] C. [ 1,0] ∪ [1, + ∞) D. [ 1,0] ∪ [1,3]
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.(1 + 2 )7的展开式中第 4 项的系数是 (用数字作答)．
11.已知随机变量 服从 1, 2 ，若 ( > 3) = 0.1，则 (1 ≤ ≤ 3) = ．
12.曲线 = 2 2 ln 在点(1,0)处的切线方程为 ．
13 2 1 3.已知甲 乙 丙三人参加射击比赛，甲 乙 丙三人射击一次命中的概率分别为3 , 2 , 5，且每个人射击相互独
立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中
的概率为 ．
1 3
14 ( ) + , ≥ 2,.已知函数 ( ) = 2 4 若函数 ( ) = ( ) 有两个不同的零点，则实数 的取值范围
log2 , 0 < < 2.
是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知 ( )是定义在 R 上的奇函数，且对于任意的 ∈ R 均有 (4 + ) + ( ) = 0.当 ∈ [ 1,0)时，
( ) = 2 ，则 (1) + (2) + + (2022) = ．
16.在 中，角 、 1、 所对的边分别为 ， ， .已知 = 6, = 2 , cos = 4．
(1)求 的值；
(2)求 sin 的值；
(3)求 sin(2 )的值．
17.如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ，∠ = 90°， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， = =
1， = 2．
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(1)求点 到直线 的距离
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18.巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有 10 名教职工参加，其中有 6 名理科教师、4 名文科
教师，为活动的需要，要从这 10 名教师中随机抽取 3 名教职工去买比赛服装．
(1)已知 10 名教师中有 2 名班主任，求抽取的 3 名中至少有 1 名班主任的概率；
(2)设 表示抽取的 3 名教师中文科教师的人数，求 的分布列及数学期望．
19.如图， 是边长为 3 的正方形，平面 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = 2 6， = 3 6．
(1)求证：面 ⊥面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3) 在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的大小为 60°？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由．
20.已知函数 ( ) = ln ( ∈ )．
(1) = 1 时，求函数 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
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(3)证明不等式e 2 > ( )恒成立．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.280
11.0.4/25
12. + 1 = 0
13.1330
10
； 13
14.( 34 , 1)
15. 12## 0.5
16.【详解】(1) 1因为 2 = 2 + 2 2 cos ，即 6 = 2 + 2 + ，而 = 2 ，代入得 6 = 4 2 + 2 + 22 ，
解得： = 1．
(2)由(1)可求出 = 2，而 0 < < π，所以 sin = 1 cos2 = 15 sin 4 ，又sin = sin ，所以 sin = =
2× 154 10
6 = 4 ．
(3) 1 π因为 cos = 4，所以2 < < π
π
，故 0 < < 2，又 sin = 1 cos
2 = 154 ，所以 sin2 = 2sin cos =
2 × 1 × 15 = 154 4 8 ，cos2 = 2cos
2 1 = 2 × 116 1 =
7
8，而 sin =
10
4 ，所以 cos = 1 sin
2 =
6
4 ，
故 sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = 15 × 6 7 10 108 4 + 8 × 4 = 8 ．
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17.【详解】(1)三棱锥 中， ⊥平面 ， , 平面 ，则 ⊥ , ⊥ ，
又∠ = 90°， = = 1， = 2，则 = 2, = = 5，
1
cos∠ = 2
1 3
= 10，sin∠ = 10，
于是等腰 腰 3上的高 = sin∠ = 5，
由 ， 分别是棱 ， 的中点，得 // ， 是 的中位线，
1 3 5所以点 到直线 的距离为2 = 10 ．
(2)依题意：以 为坐标原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
又 ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， = = 1, = 2，
得 (0,0,0), (0,0,2), (0,1,0), (0, 12 , 1), (
1
2 , 0,0), (1,0,0), (
1 , 12 2 , 0)，
= (0,0,2), = ( 1 1则 2 , 2 , 1), = (0,
1
2 , 0)，设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 1 12 + 2 + = 0则 ，取 = 1，则 = (2,0,1)，
= 12 = 0

设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = |cos , | = | | = 2 = 5，
| || | 5×2 5
所以直线 与平面 5所成角的正弦值为 5 ．
(3) 1由(2)知 = (0, 2 , 1)， = (2,0,1)，

点 到平面 = | | = 1 = 5的距离 | | 5 5 ，
所以点 5到平面 的距离为 5 ．
18.【详解】(1)由于 10 名教师中有 2 名班主任，则 10 名教师中有 8 名不是班主任，
若抽取的 3 名中没有班主任，则有C38种抽法，从 10 名教师中随机抽取 3 名教职工的方法有C310种，
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C3
故抽取的 3 8名中至少有 1 名班主任的概率为 = 1 8 =
C310 15
(2) 的所有可能取值有：0，1，2，3，
C0C3 20 1 C1C24 6 60 1 ( = 0) = 3 = 120 = 6 , ( = 1) =
4 6
3 = 120 = 2 ,C10 C10
C2 14C6 36 3 C34C0 4 1 ( = 2) = = 6
C310 120
= 10 , ( = 3) = 3 = = ,C10 120 30
故 的分布列为：

0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
1
故期望为： ( ) = 0 × 6 + 1 ×
1 + 2 × 3 + 3 × 1 62 10 30 = 5
19.【详解】(1)证明：因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，且 ⊥ ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
由四边形 为正方形，可得 ⊥ ，
又由 ∩ = ，且 , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)解：因为 , , 两两垂直，所以以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 (3,0,0), (3,0,2 6), (0,0,3 6), (3,3,0), (0,3,0)，
则 = (3, 3,0), = ( 3, 3,3 6), = (3,0, 6)，

设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ = 3 3 + 3 6 = 0,
= 3 6 = 0
取 = 6，可得 = 2 6, = 3，可得 = ( 6, 2 6, 3)，

所以 cos , = 3 6 13
|
=
| | | 3 2 39
= 13 ，

设直线 与平面 所成角为 ，则 sin = |cos , | = | | | 3 6| 13
|
= 3 2 39 = | | | 13
13所以直线 与平面 所成角的正弦值为 13 ．
(3)解：假设在线段 上存在符合条件的点 ，设 (3,0, ), 0 ≤ ≤ 2 6，
则 = (0, 3, )，
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= 3 + = 0
设平面 的法向量为 = ( , 1 11 1, 1)，则{
,
= 3 1 3 1 + 3 6 1 = 0
取 1 = ，可得 = (3 6 , , 3)，
由(1)知 ⊥平面 ，所以 为平面 的一个法向量，即 = (3, 3,0)，

则 cos , = | | = |9 6 6 | = cos60
= 1，
| | | | 3 2 (3 6 )2+ 2+9 2
整理得 2 2 6 6 + 15 = 0 = 6 = 5 6，解得 2 或 2 (舍去)，
60 1故在线段 上存在符合条件的点 ，使得平面 与平面 的夹角的大小为 ，此时 = 4．
20.【详解】(1) = 1 时， ( ) = ln ，依题意切点坐标为(1, 1)，
′( ) = 1 1，所以函数 ( )在 = 1 处的切线的斜率为
′(1) = 0，
故函数 ( )在 = 1 处的切线方程为 + 1 = 0，即 = 1．
(2) ( ) 1的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1
当 > 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
∈ (0, 1 )时，
′( ) > 0， ( )单调递增，
∈ ( 1 , + ∞)时，
′( ) < 0， ( )单调递减．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 0 时， ( ) 1 1在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
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(3)要证e 2 > ( )恒成立，即证e 2 > ln 恒成立，
令 = 1， ( ) = ln ，由(2)可知，
( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 1 恒成立，
即有 > 0 时 1 ≥ ln 恒成立，当且仅当 = 1 时取“=”号，
亦有 1 ≥ ln 即 ≥ + 1 恒成立，当且仅当 = 0，即 = 1 时取“=”号．
所以一方面e 2 ≥ 2 + 1 = 1，当且仅当 2 = 0，即 = 2 时取“=”号，
另一方面 1 ≥ ln 恒成立，当且仅当 = 1 时取“=”号，
所以e 2 > ln 恒成立，原不等式得证．
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