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天津市河西区天津市第四十一中学 2026 届高三上学期开学数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
1.设集合 = 0,1,2,3 ， = 1,3,4 ， = ∈ R 2 3 + 2 > 0 ，则( ∪ ) ∩ =( )
A. 3 B. 1,2 C. 1,3 D. 0,3,4
2.下列条件中，使 > 成立的必要而不充分条件是( )
A. 1 > B. + 1 > C. | | > | | D. 3 > 3
3.函数 ( ) = e 2 2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，
提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在 3000 名学生中，抽查了 100 名学生的体重
数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A.样本的众数为 65
B.样本的第 80 百分位数为 72.5
C.样本的平均值为 67.5
D.该校学生中低于 65 的学生大约为 1000 人
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1 1
5.设 = log 1 = 1 2 = 1 31 3， 3 ， 2 ，则( )2
A. < < B. < < C. < < D. < <
6 1.已知等比数列 的首项为 1，若 4 1，2 2， 3成等差数列，则数列 的前 5 项和为( )
A. 3316 B. 2 C.
31 D. 3116 64
7.已知 , , 为球 的球面上的三个点，⊙ 1为 的外接圆，若⊙ 1的面积为 4π， = = = 1，
则球 的表面积为( )
A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π
2 28.设 1、 2分别为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ，满足 2 =
1 2 ，且 2到直线 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线 2 = 4 的准线围成三角
形的面积为( )
A. 3 B. 3 C. 45 4 3 D.
5
3
9.已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
4π
① ( )的图象关于点 3 , 0 对称；
5π
② ( )的图象关于直线 = 12对称；
( ) π π③ 的图象可由 = 2sin 2 6 的图象向左平移2个单位长度得到；
5π 13
④若方程 ( ) = ( )( > 0)在 0, 6 上有且只有两个极值点，则 的最大值为10．
以上四个说法中，正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 .已知复数 的实部为 5，虚部为 1，则 1+i = ．
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6
11.在 2 的展开式中，常数项是 . (用数字作答)
12.写出与直线 + + 2 = 0 和 轴都相切，半径为 2的一个圆的方程： ．
13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行
1 1 1
方式有自驾 坐公交车 骑共享单车三种，某天早上他选择自驾 坐公交车 骑共享单车的概率分别为3 , 3 , 3，
1 , 1 1而他自驾 坐公交车 骑共享单车迟到的概率分别为4 5 , 6，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天
迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 ．
14.在△ 中， = = 3， = 4 ，2 = ， = 8，则 cos∠ = ，若动点 在
线段 上，则 的最小值为 ．
+ 4, ≤ 0,
15.已知函数 ( ) = 2lg , > 0,若关于 的方程 ( ) ( ) + 1 = 0 有 6 个互不相等的实数解，则实数
的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 4 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 > ，2 cos = cos + cos ， 的面积
为 12 3， = 2 13．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 cos(2 + )的值．
2 2
17 3.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 = 2 ，且椭圆的长轴长为 4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点(1,0) 8的直线 与椭圆 交于 , 两点，且| | = 5 2，求直线 的方程．
18.已知 是等差数列， 是等比数列，且 1 = 1 = 3， 2 + 4 = 2 2， 1 3 = 3．
(1)求 和 的通项公式；
(2) 求数列 的前 项和．
19 1.已知函数 ( ) = ( + 1)ln ， ∈ R．
(1)若 = 0，求 = ( )的单调区间．
(2)若 ≥ 1，且 ( ) > 1 1在区间 e , e 上恒成立，求 的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 13
11. 160
12. 2 2 2 + + 2 = 2(答案不唯一)．
13. 37 15180 ； 37
14.12/0.5； 6
15. 2, 174
16.(1)由正弦定理得，2sin cos = sin cos + sin cos
= sin( + ) = sin ，
∵ sin ≠ 0，∴ 2cos = 1 cos = 12，
又 ∈ 0, π π，所以 = 3．
(2) 1 3 = 2 sin = 4 = 12 3，即 = 48①，
又 2 = 2 + 2 2 cos ，即 52 = 2 + 2 ②，
= 8 = 6
由①②解得 = 6或 = 8 ,
又 > ，
所以 的值为 8．
(3)由(2)知 = 2 13, = 8, = 6，
2
cos = +
2 2 = 52+36 64 13所以 2 2×2 13×6 = 13 ，
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cos2 = 2cos2 1 = 1113，
又 cos > 0，所以 ∈ 0, π2 ，2 ∈ 0, π ，
则 sin2 = 4 313 ，
所以 cos(2 + ) = cos 2 + π = 13 2 cos2
3
2 sin2
= 1 × 11 3 4 3 232 13 2 × 13 = 26，
即 cos(2 + ) 23的值为 26．
17.(1)由题可知，2 = 4， = 2，

又 = =
3
2 ，且
2 = 2 + 2，解得 = 3， = 1，
2
则椭圆 的方程为 24 + = 1．
(2)法一：①当直线 斜率为 0 时，| | = 2 = 4，不符合题意．
②当直线 斜率不为 0 时，设直线 方程为 = + 1，
= + 1
联立 2 2 + 4 2 4 = 0，得 + 4
2 + 2 3 = 0， > 0，
1 + 2 =
2
2
设 , +41 1 , 2, 2 ，则
= 3
．
1 2 2+4
由题意，| | = 1 + 2 1 + 2
8
2 4 1 2 = 5 2，
4
即 1 + 2 2 2+4 + 3 =
8
5 2，解得 =± 1．
故直线 的方程为： = + 1 或 = + 1．
法二：①当直线 斜率不存在时，| | = 3，不符合题意．
②设直线 方程为 = ( 1)，
= ( 1)
联立 2 + 4 2 4 = 0，得 4
2 + 1 2 8 2 + 4 2 4 = 0， > 0，
8 2 1 + 2 = 4 2设 1, 1 , 2, 2 ，则
+1
2 ,
1 2 =
4 4
4 2+1
由| | = 85 2
8
，得 1 + 2 1 + 22 4 1 2 = 5 2，
4
即 24 2+1 · 1 + · 3
2 + 1 = 85 2，解得 =± 1．
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故直线 的方程为 = 1 或 = + 1．
18.(1)设公差为 ，公比为 ( ≠ 0)，
2 + 4 = 2 2，故 2 1 + 4 = 2 1 ，6 + 4 = 6 ，
1 3 = 3，故 3(3 + 2 ) = 3 2，
6 + 4 = 6 = 3 = 3
联立 23(3 + 2 ) = 3 2，解得 = 3或 (舍去)， = 0
故 = 3 + 3( 1) = 3 ， = 3 3 1 = 3 ；
(2) = 3 3 = 3 1，设数列

的前 项和为 ，
则 =
1 2 3 4
30 + 3 + 32 + 33 + + 3 1，①
1 1 2 3 4
3 = 3+ 32 + 33 + 34 + + 3 ，②
1 12
两式① ②得3 = 1 +
1+ 1 + 1 + + 1 3 33 32 33 3 1 3 = 1 3 = 2 +
3 1
1 2 3
，
3
所以 = 9 1 4 2 +
3 1
4 3 1．
19.(1)当 = 0 时， ( ) = 1 ln ， > 0，
则 ′( ) = 1 1 1 2 = 2 ，
′( ) = 1 令 2 = 0，解得 = 1，
且当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减；
即函数 ( )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1, + ∞)；
(2)由已知 ( ) = 1 ( + 1)ln ， > 0，
′( ) = + 1 +1 = ( 1)( 1)得 2 2 ，
令 ′( ) = 0，解得 1 =
1
， 2 = 1，
当 = 1 时， 1 = 2 = 1，此时 ′( ) =
( 1)( 1)
2 ≥ 0 恒成立，
即函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
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又 ∈ 1e , e ，所以 ( )min =
1 = 1e e e + 2 < 1，所以不满足题意；
> 1 < ( ) 0, 1 1当 时， 1 2，此时函数 在 和(1, + ∞)上单调递增，在 , 1 上单调递减；
1 1 1
①当 ≤ e，即 ≥ e 时，函数 ( )在 e , 1 上单调递减，在 1, e 上单调递增，
所以 ( ) ≥ (1) = 1 > 1，解得 > 2，
所以 ≥ e 时，不等式恒成立；
1 1 1 1 1
②当 > e，即 1 < < e 时，函数 ( )在 e , 上单调递增，在 , 1 上单调递减，在 1, e 上单调递增，
1 = e + + 1 > 1
所以需满足 e e ，解得 > 2，
(1) = 1 > 1
所以 2 < < e 时不等式恒成立．
综上所述 ∈ (2, + ∞)．
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