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四川省宜宾市第三中学校2026届高三上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题；命题，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.函数的单调递增区间为
A. B. C. D.
4.已知，比较的大小为( )
A. B. C. D.
5.已知是减函数，则函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，年月中国明确提出年实现“碳达峰”，年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇于年提出蓄电池的容量单位：，放电时间单位：与放电电流单位：之间关系的经验公式，其中为常数在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为( )
A. B. C. D.
7.设是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量分别服从正态分布和二项分布，即，则( )
A. B. C. D.
10.已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有( )
A. B. 是奇函数
C. 关于中心对称 D.
11.已知函数，则下列结论中正确的有( )
A. 当时有个零点
B. 当时有个零点
C. 当有个不同零点时，实数的取值范围为
D. 当的零点个数最多时，实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.已知实数、满足，则的最小值为 ．
14.已知函数且满足则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
17.本小题分
已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点如图，以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面如图．

求证：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内．
19.本小题分
近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能，简称已然成为科技变革的核心驱动力．有媒体称开启了我国新纪元．我校团委拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为鼓励同学们积极参加此项活动，比赛规定：答对一题得两分，答错一题得一分，选手不放弃任何一次答题机会．已知甲同学报名参加比赛，每道题回答是否正确相互独立．
若前三道试题，甲每道试题答对的概率均为记甲同学答完前三道题得分为，求随机变量的分布列和数学期望；
若甲同学答对每道题的概率均为因为甲同学答对第一题或前两题都答错，均可得到两分，称此时甲同学答题累计得分为，记甲答题累计得分为的概率为
求证：是等比数列；
求的最大值．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，因为成等比数列，
所以，即，，化简得，
由于，所以，，
所以的通项公式为．
，
，
，
得，
所以．

16.解：定义域为，，
令，解得或，
当时，
当时，，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
当时，则在上单调递增；
当时，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增；
综上，当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减．
由知时，在和单调递增，在单调递减，
所以为的极小值点，此时的极小值为，
所以，解得；
时，在上单调递增，显然无极值点，不合题意；
时，在和单调递增，在单调递减，
所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意；
综上，，即的取值范围是．

17.解：连接，令，由、分别为、的中点，得，

又四边形是直角梯形，，，，，
则，，
因此，，四边形为正方形，
则，，由平面平面，平面，
平面平面，得平面，而平面，则，
又，平面，所以平面．
由得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量为，
则，取，得，
由平面，得平面一个法向量为，
因此而二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．


18.解：由题意，，解得
故椭圆的方程为．
如图，设，由题意，，
则直线的方程为，代入，整理得：，
则，即，，故，
直线的方程为，代入，整理得：，
则，即，，故，
于是，
，
因，故可得，
即为钝角，因圆的直径所对的圆周角为直角，故点在以为直径的圆内．

19.解：由答对概率，得答错概率，答对题数，则，的可能取值为，，，，
，，
，
所以随机变量的分布列为：
期望．
对，得分的事件是答最后一题之前已得分且最后一题答错的事件
与答最后一题之前已得分且最后一题答对的事件和，则．
于是，而，，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
由得，当时，，
而满足上式，因此，
当为正偶数，，数列单调递减，因此；
当为正奇数时，，数列单调递增，因此，而，
所以的最大值为．
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