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行知高三数学月考试卷
2025.09.16
一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分)
1. 已知 为虚数单位,复数 ,则 _____.
【解析】
已知集合 ,其中 为实常数. 若 ,则实数 的取值范围是_____
【解析】
已知 ,则集合 所有可能的个数是_____个.
【解析】
双曲线 的渐近线方程为_____.
【解析】
展开式的常数项为_____.
【解析】
若直线 的倾斜角为 ,则 的值为_____.
【解析】
若关于 的方程 的一个虚根的模为 2 ,则实数 的值为_____.
【解析】
若 “存在 ,使得 ” 是假命题,则实数 的取值范围_____.
【解析】
从 中选三个不同的数 ,且满足 的数组(a, b, c) 的个数为_____.
【解析】
已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ,都有 成立, 则 的最小值等于_____.
【解析】
已知一个棱长为 的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动,若圆锥的底面半径为 3,母线长为 6,则实数 的最大值为_____.
【解析】
已知平面向量 ,满足 且 ,若对每一个确定的向量 ,记 的最小值为 ,则当 变化时, 的最大值为_____.
【解析】
二、选择题(本大题共有 4 题,满分 18 分,13、14 题每题 4 分,15、16 题每题 5 分)
13. 下列函数中, 既不是奇函数, 也不是偶函数的为 ( )
A. B. C. D.
【解析】
14. “ ” 是 “事件 与事件 互相独立” ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】
15. 已知集合 ,若对于任意 ,总存在与之相应的 (其中 ),使得 成立,则称集合 是 “ 集合”. 下列为“ 集合”的有( )个
① ②
③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】
A. 函数 可能是奇函数
B. 无论 取何值,函数 的最小值一定在 时取到
C. 若 ,则函数 一定是偶函数
D. 存在常数 ,使得函数 的图象不是轴对称图形
【解析】
（绝对值的性质，奇尖偶平取中间）
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)
17. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面 ,且 ,设 、 分别为 、 的中点.
(1)证明:直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正切值.
【解析】
证明:取 中点 ,连结 , ,在四棱锥 中,
,
又平面 底面 ,平面 底面 , 平面 ,
平面 ,
又 、 分别为 、 的中点,底面
是边长为 的正方形,
、 、 两两垂直,以 为原点, , , 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系
则 , 取平面 的法向量为 ,
,且 平面 ,
平面 ;
(2)由(1)知: , ,则 ,
取平面 的法向量 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
则
, 故tan
直线 与平面 所成的角的正切值为 .
18. 已知向量 ,其中 ,若函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2) 在 中,若 ,求 的值.
【解析】
函数 的最小正周期为 , ,解得 .
(2)由(1)可得： .
. ,
. 由正弦定理可得:
,解得 .
.
19. 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K, Ca, Mg等多种矿物质和 18 种氨基酸,被誉为 “维 C 之王”, 某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质, 从该基地的 8000 个猕猴桃中随机抽取 100 个猕猴桃进行测量, 其质量全部分布在区间[60,120]内 (单位: 克), 将所得数据分成 6 组: ,得到频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的 100 个猕猴桃中质量不小于 90 克的猕猴桃个数；
(2)若该收购商准备收购这批猕猴桃,并提出了以下两种收购方案:
方案一:所有猕猴桃均以 10 元/千克收购；
方案二: 小于 90 克的猕猴桃以 5 元/千克收购, 不小于 90 克的猕猴桃以 15 元/千克收购.
请你就这两种方案,通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案. (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
【解析】(1)由频率分布直方图可知,重量不小于90克
的频率为： ,
所以估计这100 个猕猴桃中重量不小于90克的
猕猴桃个数为 个.
(2)由频率分布直方图求出每个猕猴桃的平均
重量, 克,故方案一：所有猕猴桃均以10元每千克收购；则收入为: 元.
由频率分布直方图重量小于90克的每个猕猴桃的平均重量为： 克,
重量不小于90克的每个猕猴桃的平均重量为：60.5 克,
方案二的收入为:
元.
因8500>7320,故方案二为最佳的出售方案.
20. 已知椭圆 的右焦点为 上两点 满足 ,且 . 若椭圆 的左右顶点为 ,上下顶点为 ,记四边形 的内切圆为 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)求证:以 为直径的圆恒过异于点 的一个定点；
(3)已知 为椭圆 上任意一点,过点 作圆 的切线分别交椭圆 于 两点,试求三角形 面积最小值.
【解析】解答:解:(1)由于椭圆 的上下顶点为 , ,左右顶点为 ,
因此四边形 为菱形, 为其中心点,又因为 坐标分别为( 2,0 ),( 0 , 1 ),
可得直线 为 ,那么原点 到直线 的距离为 ,
即圆 的半径 ,因此圆 的标准方程为
.
(2)证明:设 , ,
那么 ,
又因为 ,因此
根据 可得,
设以 为直径的圆上的点 ,
那么
化简得 ,
令 ,那么
解得 或 ,
因此该圆过 .
(3)设直线 为 ,因为 与圆 相切,可知原点 到直线 的距离 ,整理可得 . 将直线 代入椭圆 可得, 整理即有, . 那么 . 即 ,因此 . 同理, ,故 、 、 三点共线,那么 .
设 代入椭圆方程可得 ,那
因此 .
同理, .
因此 .
因此 ,得 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立.
因此三角形 面积的最小值为 .
21. 已知函数 .
(1)若 ,且直线 是曲线 的一条切线,求实数 的值:
(2)若不等式 对任意 恒成立,求 的取值范围；
(3)若函数 有两个极值点 ,且 ,求 的取值范围.
【解析】:(1)当 时, , (x) .
设直线 与曲线 相切于点 , ,
则 ,即 ,解得 ,即切点为(1,1),
因为切点在 上,所以 ,解得 0
(2)不等式 可化为 .
记 ,则 对任意 恒成立.
考察函数
当 时, 在 上单调递减,又 , 所以 ,不合题意;
当 时, , ； , , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
若 ,即 时, 在 上单调
若 ,即 时, 在 上单调递增,
所以 时, ,符合题意：
若 ,即 时, 在 上单调递减,
所以当 时, ,不符合题意;
综上所述,实数 的取值范围为 ).
方法二：端点效应也可以证明
(3)方法一:
因为 有两个极值点 ,
所以 ,即 的两实数根为 ,
所以 ,所以 ,
从而
记 .
则
ln (当且仅当 时取等号),
所以 在 上单调递增,又 (e) ,
不等式 可化为 (e) ,所以
因为 ,且 在 上递增,所以 ,
即 的取值范围为 ].
方法二: ,
因为 有两个极值点 ,
所以 ,即 的两实数根为 ,
所以 ,所以 . 设 ,则 ,
所以
从而 等价于 ) .
记 .
则 (1- ) (当且仅当 时取等号),所以 在 上单调递增.
又 ,所以 e.
因为 ,且 在 上递增,
所以 ,
即 的取值范围为 ].行知高三数学月考试卷
2025.09.16
一、填空题(本大题共 12 题,满分 54 分,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分)
1. 已知 为虚数单位,复数 ,则 _____.
2. 已知集合 ,其中 为实常数. 若 ,则实数 的取值范围是_____
3. 已知 ,则集合 所有可能的个数是_____个.
4. 双曲线 的渐近线方程为_____.
5. 展开式的常数项为_____.
6. 若直线 的倾斜角为 ,则 的值为_____.
7. 若关于 的方程 的一个虚根的模为 2 ,则实数 的值为_____.
8. 若 “存在 ,使得 ” 是假命题,则实数 的取值范围_____.
9. 从 中选三个不同的数 ,且满足 的数组(a, b, c) 的个数为_____.
10. 已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ,都有 成立, 则 的最小值等于_____.
11. 已知一个棱长为 的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动,若圆锥的底面半径为 3,母线长为 6,则实数 的最大值为_____.
12. 已知平面向量 ,满足 且 ,若对每一个确定的向量 ,记 的最小值为 ,则当 变化时, 的最大值为_____.
二、选择题(本大题共有 4 题,满分 18 分,13、14 题每题 4 分,15、16 题每题 5 分)
13. 下列函数中, 既不是奇函数, 也不是偶函数的为 ( )
A. B. C. D.
14. “ ” 是 “事件 与事件 互相独立” ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 已知集合 ,若对于任意 ,总存在与之相应的 (其中 ),使得 成立,则称集合 是 “ 集合”. 下列为“ 集合”的有( )个
① ②
③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. 函数 可能是奇函数
B. 无论 取何值,函数 的最小值一定在 时取到
C. 若 ,则函数 一定是偶函数
D. 存在常数 ,使得函数 的图象不是轴对称图形
三、解答题(本大题共有 5 题,满分 78 分)
17. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面 ,且 ,设 、 分别为 、 的中点.
(1)证明:直线 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正切值.
18. 已知向量 ,其中 ,若函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2) 在 中,若 ,求 的值.
19. 某地红心猕猴桃因富含维生素C及K, Ca, Mg等多种矿物质和 18 种氨基酸,被誉为 “维 C 之王”, 某收购商为了了解某种植基地的红心猕猴桃品质, 从该基地的 8000 个猕猴桃中随机抽取 100 个猕猴桃进行测量, 其质量全部分布在区间[60,120]内 (单位: 克), 将所得数据分成 6 组: ,得到频率分布直方图如图所示.
(1)求抽取的 100 个猕猴桃中质量不小于 90 克的猕猴桃个数；
(2)若该收购商准备收购这批猕猴桃,并提出了以下两种收购方案:
方案一:所有猕猴桃均以 10 元/千克收购；
方案二: 小于 90 克的猕猴桃以 5 元/千克收购, 不小于 90 克的猕猴桃以 15 元/千克收购.
请你就这两种方案,通过计算为该猕猴桃基地选择最佳的出售方案. (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
20. 已知椭圆 的右焦点为 上两点 满足 ,且 . 若椭圆 的左右顶点为 ,上下顶点为 ,记四边形 的内切圆为 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)求证:以 为直径的圆恒过异于点 的一个定点；
(3)已知 为椭圆 上任意一点,过点 作圆 的切线分别交椭圆
于 两点,试求三角形 面积最小值.
21. 已知函数 .
(1)若 ,且直线 是曲线 的一条切线,求实数 的值:
(2)若不等式 对任意 恒成立,求 的取值范围；
(3)若函数 有两个极值点 ,且 ,求 的取值范围.

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