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四川省 2024 年 9 月普通高中学业水平合格性考试数学试卷
一、单选题：本题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = 3,4,5,6 , = 4,6 ，则 ∩ =( )
A. 3,4 B. 3,6 C. 4,5 D. 4,6
2.复数 3 + 4i 的模为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
3 sin = 2 2.若 3 , cos =
1
3，则 tan =( )
A. 1 B. 2 2 C. 3 D. 5
4.半径为 2 的球的表面积为( )
A. 4 323π B. 4π C. 3 π D. 16π
5.已知向量 = (1,3), = (3, )，且 3 = ，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 7 D. 9
6.已知函数 ( ) = log2 ，当 ∈ (2,4)时， ( )的取值范围是( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,4) D. (4,16)
7.sin10 cos50 + cos10 sin50 的值为( )
A. 14 B.
1
3 C.
3
4 D.
3
2
8.函数 ( ) = ln + 1 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.一组数据 10，12，14，16，20，24，30，35，40，43 的第 80 百分位数是( )
A. 35.0 B. 37.5 C. 40.0 D. 41.5
10 1.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 = 2, = 3, cos = 3，则 =( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11.一道选择题有 ， ， ， 四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概
率是( )
A. 14 B.
1 2 3
2 C. 3 D. 4
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12.如图，在正方体 1 1 1 1中，异面直线 与 1 1所成的角是
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
13.设 ∈ ，则“ > 1”是“ 2 > 1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.如图，在四面体 中， , , 分别是 , , 的中点，则下列结论中一定正确的是( )
A. ⊥平面 B. ⊥平面 C. //平面 D. //平面
15 1 1.已知函数 ( ) = 2 2 +1，则满足不等式 (2 )
2 > 0 的 的取值范围是( )
A. ( 2,0) B. ( ∞, 2) ∪ (0, + ∞)
C. (0,2) D. ( ∞,0) ∪ (2, + ∞)
二、填空题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。
1
16.已知函数 ( ) = 3，则 (8) = ．
17.已知圆锥的体积为 4π，高为 3，则该圆锥的底面半径为 ．
18.已知向量 = (2,1), = ( , 6)，且 ⊥ ，则 = ．
三、解答题：本题共 3 小题，共 28 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 8 分)
已知函数 ( ) = sin + π8 , ∈ ．
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(1)求 ( )的最小正周期；
(2) π求 ( )在区间 0, 8 上的最大值．
20.(本小题 10 分)
1
已知函数 ( ) = + ．
(1)判断 ( )的奇偶性；
(2)证明 ( )在区间[1, + ∞)上单调递增．
21.(本小题 10 分)
某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了 600 位年轻人的日均阅读时长(单位：分钟)，
将这些数据按照[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]分成 6 组，并制成了如图所示的频率分布
直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)从被调查的日均阅读时长在[60,70), [90,100]的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出 5
人．若从这 5 人中任意选取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人日均阅读时长不低于 90 分钟的概率．
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参考答案
1.
2.
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14.
15.
16.2
17.2
18. 3
19. 2π 2π【详解】(1) = | | = 1 = 2π，
故 ( )的最小正周期为 2π．
(2)令 = + π8，由 ∈ 0, 8 得：
∈ 8 ,

4 ，
又因为函数 = sin 在 ∈ 8 , 4 单调递增，
所以 ( ) 2max = sin 4 = 2 ．
20.【详解】(1)函数的定义域为 ≠ 0 ，
因为 ( ) = + 1 = ( +
1
) = ( )，
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所以 ( )为奇函数，
(2)证明：任取 1, 2 ∈ [1, + ∞)，且 1 < 2，则
1 1
2 1 = 2 + 1 +2 1
1 1
= ( 2 1) + 2 1

= ( 2 1) +
1 2
1 2
= ( 2
1 2 1
1) 1
，
2
因为 1 ≤ 1 < 2，所以 2 1 > 0， 1 2 > 0， 1 2 1 > 0，
所以 ( 2) ( 1) > 0，即 ( 2) > ( 1)，
所以 ( )在区间[1, + ∞)上单调递增
21.【详解】(1)根据题意可得(0.004 + 0.008 + 0.012 + 0.018 + + 0.032) × 10 = 1，解得 = 0.026．
(2)因为日均阅读时长在[60,70), [90,100]的两组的频率之比为 0.12: 0.18 = 2: 3，
所以在[60,70), [90,100]的两组分别抽 2 人，3 人，
C2 9
所以再从这5 人中任意选取2 人，则这2 人中至少有1 人日均阅读时长不低于90 分钟的概率为1 22 =C5 10
，
9
所以这 2 人中至少有 1 人日均阅读时长不低于 90 分钟的概率为10．
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