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人教版八年级数学上册
第十三章 三角形
13.2 与三角形有关的线段
13.2.1 三角形的边
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问题:某节日的晚上,房梁上亮起了彩灯(如图),其中装有黄色彩灯的灯带(AB+AC)长还是装有红色彩灯的灯带(BC)长 请你说明理由.
装有黄色彩灯的灯带长,理由是两点之间,线段最短.
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任务一：探究三角形的三边关系
问题1:如图,任意画一个△ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择
问题2:各条线路的长有什么关系
问题3:这说明三角形的边之间有什么关系
三角形的两边之和大于第三边.
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任务二：证明三角形的三边关系
问题1:想一想,我们可以怎样证明上面的结论
如果把△ABC上的任意两个顶点看成是定点,比如B,C为定点,自然有AB+AC>BC.
同理如果定点改变也可以得到另两个不等式:
AC+BC>AB,AB+BC>AC.
这就证明了三角形两边的和大于第三边.
两点之间,线段最短.
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问题2:根据以上探究过程,你能否得到与三角形三边长有关的差的关系
由AB+AC>BC，得AB>BC-AC（移项）,即BC-AC三角形两边的差小于第三边.
任意两边之差<第三边<任意两边之和.
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任务三：三角形三边关系的应用
问题:上面的结论表明了三角形的三边关系,反过来,对于三条线段,当它们满足什么条件时,这三条线段能组成三角形
如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段,那么这三条线段能组成三角形;如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段,那么这三条线段不能组成三角形.
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追问:能否有较简捷的方法判断三条线段能否组成三角形呢 比如,思考较短的两条边的和与第三边的关系.
若较短两边的和大于第三边,则任意两边的和都大于第三边.
只需看较短两边的和是否大于第三边即可.
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任务四：运用新知，例题讲解
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗 为什么
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,
则x+2x+2x=18,解得x=3.6.
所以,三角形三边的长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
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例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗 为什么
解：(2)因为长为4 cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
①如果4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则4+2x=18,解得x=7.
②如果4 cm长的边为腰时,设底长为y cm,有2×4+y=18,解得y=10.
因为4+4<10,不符合“三角形两边的和大于第三边”,所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长为4 cm的等腰三角形.
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任务五：探究三角形的稳定性
问题1:用木条钉成的三角形和四边形,用力拉一拉,各有什么变化
三角形的稳定性是三角形特有的性质.
四边形变形了,而三角形却一点不变.
如果三角形的三条边固定,那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.四边形就不具有稳定性.
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问题2:三角形在生产、生活中应用很广,有很多需要稳定的东西都制成了三角形的形状.如钢架桥、电视塔架底座都是三角形结构.你还能举出其他的例子吗
如自行车三角架、移动信号发射塔、手机的三角形支架等都是三角形稳定性的应用.
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B
C
3
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小结：根据三角形三边关系（两边的和大于第三边，两边的差小于第三边）确定第三边的取值范围，再选择符合条件的偶数即可.
5． (北师7下P86)△ABC的两边长分别是3和5，且第三边长为偶数，则第三边长为　 　．
　4或6　
6．(2024徐州)若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为　 　(写出一个即可)．
　5(答案不唯一)　
解：①当6 cm是腰长时，底边长＝20－6×2＝8(cm)，即其他两边长是6 cm，8 cm，此时能构成三角形；
②当6 cm是底边长时，腰长＝(20－6)÷2＝7(cm)，此时能构成三角形，所以其他两边长是7 cm，7 cm．
综上所述，其他两边长分别为6 cm，8 cm或7 cm，7 cm．
7.(人教8上P8、北师7下P87改编)一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长为6 cm，求其他两边的长．
解：设三角形的边长为a，a，b，根据题意有如下两种情况：
①或②，
解①得，解②得，
∵①a＋b＝14＋21＝35＞21，②2a＝32＞24，
∴此两组解都符合题意．故这个三角形的三边长分别是21，21，14或16，16，24．
★8． (创新题)已知一个三角形有两边相等，并且周长为56，两不等边之比为3∶2，求这个三角形各边的长．
0.55
课堂总结
回顾三角形三边关系的研究过程,想想是怎么研究的.你有哪些收获
作业设计
谢 谢

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