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江苏省前黄高级中学 2026 届高三上学期期初适应性练习
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = 2, 1,0,1,2,3 ，集合 = 1,2, 2 ， = 2 3 + 2 = 0 ，则 U( ∪ ) =( )
A. 1,3 B. 0,3 C. 2,1 D. 2,0
2 +1.若复数 满足 1 = 1 + i，则 的虚部是( )
A. 2 B. 2 C. 2i D. 2i
3.已知向量 , 满足 = = + = 1，则向量 3 在向量 上的投影向量为( )
A. 52 B.
1
2 C. 2 D. 4
4.函数 = 5tan(2 + 1)的最小正周期为( )
A. π B. π4 2 C. π D. 2π
5.若实数 , 满足 2 + 2 + = 1，则 + 的最大值是( )
A. 2 3 2 3 3 33 B. 3 C. 3 D. 3
6.已知0.3 = 2 = 0.4，则( )
A. < + < 0 B. + < < 0
C. < 0 < + D. + < 0 <
7.已知 的边 的中点为 ，点 在 所在平面内，且 = 3 2 ，若 = + ，则 +
=( )
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
8.如图，四边形 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = ∠ ， = ，则 cos∠ =( )
A. 33 B.
1
3 C.
2 1
3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，其中 为等边三角形，
点 的坐标为(1,0)，则( )
A. = 8
B. = 4
C.直线 = 7 是 ( )图象的一条对称轴
D.将 ( )的图象向左平移 2 个单位长度后，所得图象与函数 ( ) = 2 3sin 4 +

4 的图象重合
10.若△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 3 + 6 sin2 + 2 = 0，则下列结论正确的
是( )
A.角 一定为锐角 B. 3 2 + 5 2 = 3 2
C. 4tan + tan = 0 D. tan 3的最大值为4
11.设函数 ( ) = 1 + ln(1 + ) + 1( ∈ )，则( )
A.当 = 1 时， ( )没有零点
B.当 < 0 时， ( )在区间(0, + ∞)上不存在极值
C. 1存在实数 ，使得曲线 = 为轴对称图形
D. 1存在实数 ，使得曲线 = 为中心对称图形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题“ ∈ [1,2]， 2 + ln 2 ≤ 0 为假命题”，则实数 的取值范围为 ．
13 2.已知 sin(2 + ) = 3 , cos cos( + ) =
1
2，则 tan + tan( + ) = ．
14.已知函数 ( ) = 2 1+ ln ，在(0,2)上的最小值为 1，则实数 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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在 中， , , 分别为角 , , 的对边，且(2 )cos = cos ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 3，设角 的大小为 ， 的周长为 ，求 = ( )的最大值．
16.(本小题 15 分)

已知函数 ( ) = ( 2) e + 2 ．
(1)若 = e2，求函数 = ( )在点 2, (2) 处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性．
17.(本小题 15 分)
某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次
4 3 5
光刻的良品率分别为5，4，6 .只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、
3 4 4
丙第二次光刻的良品率分别为4，5，5 .第二次光刻的良品才是合格品．
(1)若从第一次光刻的芯片中任取 3 枚甲芯片、2 枚乙芯片、1 枚丙芯片，再从这 6 枚芯片中任取一枚，求
该芯片是良品的概率；
(2)甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润 100 元，每件不合格品使公司亏损 25 元，现生产
甲、乙、丙芯片各一枚，设这 3 枚芯片为公司赚取的利润为 ，求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ，∠ = 90°，平面 ⊥底面 ，
为 的中点， 是棱 (不与端点重合)上的点， = = 2， = 12 = 1， = 3．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)当 的长为何值时，平面 与平面 所成的角的大小为 60°？
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 1 ln ( ∈ )，设 ( )的图象在 = 1 处的切线为 ： = + ．
(1)若 = 1，证明：当 > 0 时， ( ) ≤ + ；
(2)若 ( )有三个零点 1， 2， 3( 1 < 2 < 3).
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( )求 的取值范围；
( )证明：2( 1) 1 + ( + 2) 3 > 3 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. ∞,2 + 12 ln2
13.43
14. 1
15.(1)解：在 中，因为(2 )cos = cos ，
由正弦定理可得(2sin sin )cos = sin cos ，
即 2sin cos sin cos = sin cos ，
可得 2sin cos = sin cos + sin cos = sin( + )，
因为 + + = ，所以 + = π ，可得 sin( + ) = sin ，
所以 2sin cos = sin ，
1
又因为 0 < < π，所以 sin > 0，所以 cos = 2，
0 < < π = π因为 ，所以 3．
(2) π π解：由题意知： = 3， = 3，且∠ = ，则 = π 3，
3 2π
根据正弦定理得sin = sinπ =3 sin(π
π) = 2，可得 = 2sin , = 2sin( 3 )，3
2π
所以 的周长 = + + = 2sin + 3 + 2sin( 3 )
2π 2π
= 2sin + 3 + 2(sin 3 cos cos 3 sin )
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3 1
= 2sin + 3 + 2 × ( 2 cos + 2 sin ) = 3sin + 3cos + 3
= 2 3 × ( 32 sin +
1
2 cos ) + 3 = 2 3sin( +
π
6 ) + 3，
2π π π π π
因为 0 < < 3，所以当 + 6 = 2，即 = 3时，sin + 6 取得最大值 1，
此时 max = 2 3 × 1 + 3 = 3 3，即 周长的最大值为 3 3．
2
16.解：(1) ∵ = 2，∴ ( ) = ( 2) e + e 2 ，
∴ (2) = 0, ′( ) = e + e
2 + ( 2) e + e
2
，∴ ′2 2 (2) = 2e
2，
∴切线方程为 = 2e2( 2)，即 2e2 4e2 = 0．
(2) ∵ ( ) = ( 2) e + 2 ，∴
′( ) = ( 1) e + ．
①当 ≥ 0 时，e + > 0，
当 ∈ ( ∞,1)时， ′( ) < 0, ( )单调递减；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0, ( )单调递增．
②当 = e 时，
当 ∈ ( ∞,1)时， 1 < 0, e < 0， ′( ) > 0，
当 ∈ [1, + ∞)时， 1 ≥ 0, e e ≥ 0， ′( ) ≥ 0， = 1 时等号成立，
所以 ( )在 R 上单调递增．
③当 e < < 0 时，ln( ) < 1，
当 ∈ ∞, ln( ) 时， ′( ) > 0, ( )单调递增，当 ∈ ln( ), 1 时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0, ( )单调递增．
④当 < e 时，ln( ) > 1，
当 ∈ ( ∞,1)时， ′( ) > 0, ( )单调递增，当 ∈ 1, ln( ) 时， ′( ) < 0, ( )单调递减，
当 ∈ ln( ), + ∞ 时， ′( ) > 0, ( )单调递增．
综上所述：①当 ≥ 0 时， ( )在( ∞,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增；
②当 = e 时， ( )在 R 上单调递增；
③当 e < < 0 时， ( )在 ∞, ln( ) , (1, + ∞)上单调递增，在 ln( ), 1 上单调递减；
④当 < e 时， ( )在( ∞,1), ln( ), + ∞ 上单调递增，在 1, ln( ) 上单调递减．
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17.解：(1)记事件 为该芯片是良品，
则 ( ) = 45 ×
3 3 2 5 1 71
6 + 4 × 6 + 6 × 6 = 90．
(2)设 ， ， ( = 1,2)分别为甲、乙、丙三种芯片第 次光刻为良品，
= 4 = 3 = 3 = 4 = 5 = 4则 1 5， 2 4， 1 4， 2 5， 1 6， 2 5．
3
甲芯片是合格品的概率为 1 2 = 5，
3
乙芯片是合格品的概率为 1 2 = 5，
丙芯片是合格品的概率为 1
2
2 = 3．
的可能取值为 75，50，175，300，
( = 75) = 2 × 25 5 ×
1 = 43 75，
( = 50) = 25 ×
2 × 2 3 2 1 20 45 3 + 5 × 5 × 3 × 2 = 75 = 15，
( = 175) = 3 × 2 × 2 35 5 3 × 2+ 5 ×
3 × 1 = 33 = 115 3 75 25，
( = 300) = 3 × 3 × 2 = 18 65 5 3 75 = 25，
其分布列为
75
50 175 300
4 4 11 6
75 15 25 25
数学期望 ( ) = 75 × 475 + 50 ×
4 11 6 475
15 + 175 × 25 + 300 × 25 = 3 ．
18. 1解：(1) ∵ // ， 为 的中点， = 2 ，
∴ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // ．
∵ ∠ = 90°，∴ ⊥ ．
∵ = ， = ，∴ ⊥ ．
又∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
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∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ．又∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)可知 ⊥平面 ．如图，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空
间直角坐标系，
则 (0,0,0)， ( 1,0,0)， (0,0, 3)， (0, 3, 0)， ( 1, 3, 0)，
∴ = (0, 3, 0)， = (0, 3, 0)， = (1,0, 3)， = ( 1, 3, 3)，
= ( 1)2 + ( 3)2 + ( 3)2 = 7．
设 = ，则 = ( , 3 , 3 )，且 0 < < 1，得 ( , 3 , 3 3 )，
∴ = ( , 3 , 3(1 ))．
→
设平面 的法向量为 = ( , , )，
→
· = 0, + 3 + 3(1 ) = 0,
则 → ，即
· = 0, 3 = 0.

令 = 3，则 = 0， = 1 ，
→
∴平面 的一个法向量为 = ( 3, 0, 1 ).
→
设平面 的法向量为 = ( ′, ′, ′)，
→
· = 0 3 ’ = 0,则 → ，即
· = 0 ’ + 3 ’ = 0.
令 ′ = 3，则 ′ = 0， ′ = 3，
→
∴平面 的一个法向量为 = (3,0, 3).
∴平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 60°，
→ → 3 3 3
∴ 60° = | | = 1 = 1→ → 2，| || | 2
12 3+ 1
∴ = 12．
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∴ = 1 72 = 2 ．
= 7即当 2 时，平面 与平面 所成的角大小为 60°．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 2 1 ln ， (1) = 2 × (1 1) ln1 = 0．
对 ( ) ′( ) = 2 1 + 1 1求导得 ′ 2 ，则 (1) = 2 × (1 + 1) 1 = 3．
所以切线 的方程为 = 3 3，即 = 3, = 3，
令 ( ) = ( ) (3 3) = 2 1 ln 3 + 3 = ln
2
+ 3．
2
( ) ′( ) = 1 1 + 2 = +2 = ( +2)( 1)对 求导得 2 2 2 ．
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
所以 ( )max = (1) = 0，即 ( ) = ( ) (3 3) ≤ 0，所以当 > 0 时， ( ) ≤ + ．
2
(2)( ) ( ) = 2 1 ln (1) = 2(1 1) ln1 = 0 ′( ) = 2 1 + 1 = 2 +2 ，显然有 ， 2 2 ， >
0．
①若 ≤ 4，则 ′( ) ≥ 0 恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在(0, + ∞)上只有一个零点 = 1，不符合题意；
②若 > 4，令 ′( ) = 0 得 2 2 + 2 = 0，记其两根分别为 , ( < )，
则 + = 2 > 2， = 1，所以 0 < < 1 < ，
由 ′( ) > 0 得，0 < < 或 > ，由 ′( ) < 0 得， < < ，
所以 ( )在(0, )和( , + ∞)上单调递增，在( , )上单调递减，
又 (1) = 0，所以 ( ) > 0， ( ) < 0，
当 无限趋向于正无穷大时， ( )无限趋向于正无穷大，
所以 ( )在(1, + ∞)上有唯一零点，为 3 3 > 1 ，
又 1 = 2 1 1 3 ln = 2
2 1
3
3 3 3
ln 3 = 3 = 0，且 ∈ (0,1)，3 3
1
所以 ( )在(0,1)上只有一个零点 1 = ，从而 2 = 1，所以 > 4．3
( )由( )知 3 > 1，且 3 = 2 3
2
ln 3 = 0
2
，所以 ln 3 = 2 3 ，
3 3
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由(1)知，当 > 1 时，ln > 3 2 2 2 ，所以 2 3 = ln 3 > 3 3 ，3 3
2 2
整理得( + 2) 3 + > 3 ，3
又 = 11 ，所以 2( 1) 1 + ( + 2) 3 > 3 ，得证．3
第 10页，共 10页

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