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贵州省黔南布依族苗族自治州长顺县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题
1．（2024九上·长顺期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长顺期中）二次函数的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·长顺期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·长顺期中）已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·长顺期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·长顺期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·长顺期中）二次函数的图象如图所示，若点、是它图象上的两点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
8．（2024九上·长顺期中）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
9．（2024九上·长顺期中）如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·长顺期中）如图，绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在的延长线上．若，则旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·长顺期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项不正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九上·长顺期中）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024九上·长顺期中）当满足　 　时，关于的方程是一元二次方程．
14．（2024九上·长顺期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为　 　．
15．（2024九上·长顺期中）已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　 　．
16．（2024九上·长顺期中）如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为　 　．
17．（2024九上·长顺期中）请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两个方程．
①；②；③；④．
18．（2024九上·长顺期中）在下图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知两点的坐标分别为，．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标．
（2）将绕坐标原点顺时针旋转，画出转旋后的．
19．（2024九上·长顺期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m取何值时，此方程总有两个实数根？
（2）若原方程的两个实数根的积为，求m的值．
20．（2024九上·长顺期中）阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，．
根据以上材料解答下列各题：
（1）若，求的值；
（2）若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
21．（2024九上·长顺期中）在2024年巴黎奥运会跳水比赛中，中国跳水运动员以其精湛的技术和完美的表现赢得了全世界的瞩目，为了研究跳水运动员的运动轨迹，我们建立了如下的数学模型．跳水运动员从跳板起跳后，其身体（视为一点）在空中的运动轨迹可以近似地看作是一条抛物线．已知跳板的长度为，跳板距水面的高度为．运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度．分别以，所在直线为轴和轴，点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）求跳水运动员入水点距池边点的水平距离（结果保留根号）．
22．（2024九上·长顺期中）某电子产品零售商计划对一款智能手表进行降价促销．该智能手表的成本价为每块200元．当售价为每块800元时，其日销售量为50块．市场研究表明，该智能手表的售价每降低10元，其日销售量就会增加5块．已知该智能手表的售价始终不低于成本价．
（1）如果零售商决定降价60元进行销售，那么降价后的日销售利润是多少元？
（2）零售商希望每天通过销售这款智能手表获得的利润为60 000元，那么这款智能手表应降价多少元？
（3）为了最大化日销售利润，零售商应该将这款智能手表的售价定为多少元？此时，每天能获得的最大利润是多少元？
23．（2024九上·长顺期中）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点C的纵坐标为3，且．
（1）求b和c的值．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使最小，请求出点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、 ，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、 符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数顶点坐标是，
∴二次函数图象的顶点坐标为．
故选：C．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，
∴，
∴，解得：，
∴该方程的另一个根为，
故答案为：．
【分析】知道方程的一个根为2，根据根与系数的关系可得出两根之积为2，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是
，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的平移规则，即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，等式两边同时加上得到，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据配方的方法，等式两边同时加上得到，即，即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，
因为点、在此函数图象上，且，
所以，
故选：A．
【分析】观察函数图象可得出对称轴为x=-3，且抛物线开口向下，可得出在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由-1＞-2，即可得出。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，函数为，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，
即，
∴，
∴且，
综上，函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】根据 函数的图象与x轴有交点， 可得出方程=0有实数根，即可得出根的判别式≥0，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】 设小路的宽为 ，根据长方形面积计算公式可得 ： 。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由旋转性质可得：，
∴三角形BED是等边三角形，
∴，
∴旋转角的度数为，
故答案为：B ．
【分析】根据邻补角定义得出，再根据旋转性质得出，进而得出三角形BED是等边三角形，即可得出旋转角∠DBE=60°。
11．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：图象开口向下，对称轴在右侧之间，图象与轴交于正半轴，
∴，
∴，故A，C正确，不符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
当时，图象在轴上方，
∴，故D选项错误，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据抛物线的开口方向和位置，可得出A正确；B正确，C正确；然后根据当x=1时，所对应的抛物线上的点在x轴上方，可得出，故而得出D不正确，即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意，，
四边形为正方形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为．
故选：B．
【分析】根据题意，，再根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，，再根据二次函数图象即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次项系数不等于0，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜3．
故答案为：-1＜x＜3．
【分析】观察图象，可得出当-1＜x＜3时，抛物线在x轴的下方，即可得出 当y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
，
由旋转的性质可知，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据旋转性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】解：①，
∵，，，，
∴方程有两个不等的实数根，
，；
②，
等式两边同时除以得，，
直接开方得，，
，；
③，
∵，，，，
∴方程有两个不等的实数根，
，；
④，
因式分解得，，
∴，或，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据方程的特征，①③可用公式法求解，②④可用因式分解法求解。
18．【答案】（1）解：已知两点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长均为，
∴画出平面直角坐标系如图所示，
∴．
（2）解：绕坐标原点顺时针旋转，根据旋转的性质作图，如图所示，
∴即为所求图形．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据两点的坐标分别为， ，可确定平面直角坐标系原点的位置，建立平面直角坐标系，并根据点C的位置，直接写出点C的坐标即可；（2）根据旋转中心，旋转方向和旋转角度可得出A，B，C旋转之后的对应点A'，B'，C'，再顺次链接即可。
（1）解：已知两点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长均为，
∴画出平面直角坐标系如图所示，
∴．
（2）解：绕坐标原点顺时针旋转，根据旋转的性质作图，如图所示，
∴即为所求图形．
19．【答案】（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根，
且，
且.
（2）解：设原方程的两个实数根分别为和，
由题意，得，
根据一元二次方程的根与系数的关系，得，
，
解得．
经检验，是方程的解．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）根据 方程总有两个实数根 ，可得出根的判别式≥0.且二次项系数≠0，即可求出m的取值范围；
（）利用根与系数的关系可得，解得m的值即可。
（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根，
且，
且.
（2）解：设原方程的两个实数根分别为和，
由题意，得，
根据一元二次方程的根与系数的关系，得，
，
解得．
经检验，是方程的解．
20．【答案】（1）解：，
，
，
，，
.

（2）解：为等腰三角形.
理由：，
，
，
，，
，，
为等腰三角形.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）因用配方法可得出，再根据偶次方的非负性得出x=-3，y=4，然后再代入求值，即可得出；
（2）首先根据配方法得出，再根据非负性得出，，即可得出a=c，荆轲得出结论。
（1）解：，
，
，
，，
.
（2）解：为等腰三角形.
理由：，
，
，
，，
，，
.
为等腰三角形.
21．【答案】（1）解：跳板的长度为，运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线过点，
将点代入，得，
跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式，
当时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意可得出抛物线的顶点坐标，所以可利用顶点式，根据待定系数法即可求解；
（2）由（1）的函数关系式，令y=0，求得x的值，取其正值，即可得出答案。
（1）解：跳板的长度为，运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线过点，
将点代入，得，
跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式，
当时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为．
22．【答案】（1）解：降价60元后，新的售价为（元），
售价每降低10元，日销售量就会增加5块，
降价60元后，日销售量变为（块），
降价后的日销售利润为（元），
答：降价后的日销售利润为43200元；
（2）解：设这款智能手表降价x元，则售价为元，日销售量为块，
根据题意，得，
解得，，
答：这款智能手表应降价200元或300元；
（3）解：设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由题意得，
，
，
该函数的图象开口向下，
，
当时，W有最大值，且最大值为61250，
当售价定为（元）时，每天获得的利润最大，最大为61250元，
答：零售商应该将这款智能手表的售价定为550元，此时，每天能获得的最大利润是61250元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据日销售利润=（售价-进价）×日销量，即可得出 降价后的日销售利润 ；
(2)设这款智能手表降价x元，根据日销售利润=（售价-进价）×日销量，可得出方程，解方程即可求解；
（3）设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由此得到关于的二次函数，根据二次函数求最值的计算方法即可求解．
（1）解：降价60元后，新的售价为（元），
售价每降低10元，日销售量就会增加5块，
降价60元后，日销售量变为（块），
降价后的日销售利润为（元），
答：降价后的日销售利润为43200元；
（2）解：设这款智能手表降价x元，则售价为元，日销售量为块，
根据题意，得，
解得，，
答：这款智能手表应降价200元或300元；
（3）解：设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由题意得，
，
，
该函数的图象开口向下，
，
当时，W有最大值，且最大值为61250，
当售价定为（元）时，每天获得的利润最大，最大为61250元，
答：零售商应该将这款智能手表的售价定为550元，此时，每天能获得的最大利润是61250元．
23．【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标为3，
点．
，
点．
将点，代入解析式，
得，解得
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，
对称轴为直线．
令，则，解得，．
，．
如图，连接，交直线于点P，连接．
点A关于直线的对称点是点B，
．
C，B，P三点共线，故此时最小，最小值为的长．
设直线的函数解析式为．将点，代入，
得，解得
直线的函数解析式为．
令，得，
点；
（3）解：存在点Q，使得．
点，，
．
设点，
，
，
，即．
当时，解得或，
点或；
当时，方程无实数根．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）首先求得点B，C的坐标，再利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）根据抛物线的对称性可得出A和B对应，连接BC交 抛物线的对称轴 于点P，此时最小，利用待定系数法求得直线BC的解析式，进一步求得直线边长与抛物线对称轴的交点即为点P的坐标。
（3）先求得，设点，利用坐标与图形，结合面积共线得到，然后解方程求得t值即可求解．
（1）解：抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标为3，
点．
，点．
将点，代入解析式，
得，解得；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，
对称轴为直线．
令，则，解得，．
，．
如图，连接，交直线于点P，连接．
点A关于直线的对称点是点B，
．
C，B，P三点共线，故此时最小，最小值为的长．
设直线的函数解析式为．将点，代入，
得，解得
直线的函数解析式为．
令，得，
点；
（3）解：存在点Q，使得．
点，，
．
设点，
，
，
，即．
当时，解得或，
点或；
当时，方程无实数根．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或．
1 / 1贵州省黔南布依族苗族自治州长顺县2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题
1．（2024九上·长顺期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、 ，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、 符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可。
2．（2024九上·长顺期中）二次函数的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数顶点坐标是，
∴二次函数图象的顶点坐标为．
故选：C．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
3．（2024九上·长顺期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可得出答案。
4．（2024九上·长顺期中）已知是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，
∴，
∴，解得：，
∴该方程的另一个根为，
故答案为：．
【分析】知道方程的一个根为2，根据根与系数的关系可得出两根之积为2，即可得出答案。
5．（2024九上·长顺期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线是
，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的平移规则，即可得出答案。
6．（2024九上·长顺期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，等式两边同时加上得到，
∴，
故答案为：B ．
【分析】根据配方的方法，等式两边同时加上得到，即，即可得出答案。
7．（2024九上·长顺期中）二次函数的图象如图所示，若点、是它图象上的两点，则与的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，
因为点、在此函数图象上，且，
所以，
故选：A．
【分析】观察函数图象可得出对称轴为x=-3，且抛物线开口向下，可得出在对称轴右侧，y随x的增大而减小，由-1＞-2，即可得出。
8．（2024九上·长顺期中）若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，函数为，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，
即，
∴，
∴且，
综上，函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】根据 函数的图象与x轴有交点， 可得出方程=0有实数根，即可得出根的判别式≥0，即可得出答案。
9．（2024九上·长顺期中）如图，小明家有一块长，宽的长方形土地，为了种植方便，小明爸爸准备在横、纵方向各修建一条等宽的小路（阴影部分），并且要使种植面积为，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图所示，运用平移的方法得到种植地的长为，宽为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】 设小路的宽为 ，根据长方形面积计算公式可得 ： 。
10．（2024九上·长顺期中）如图，绕点顺时针旋转一定角度后得到，点恰好落在的延长线上．若，则旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由旋转性质可得：，
∴三角形BED是等边三角形，
∴，
∴旋转角的度数为，
故答案为：B ．
【分析】根据邻补角定义得出，再根据旋转性质得出，进而得出三角形BED是等边三角形，即可得出旋转角∠DBE=60°。
11．（2024九上·长顺期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：图象开口向下，对称轴在右侧之间，图象与轴交于正半轴，
∴，
∴，故A，C正确，不符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
当时，图象在轴上方，
∴，故D选项错误，符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据抛物线的开口方向和位置，可得出A正确；B正确，C正确；然后根据当x=1时，所对应的抛物线上的点在x轴上方，可得出，故而得出D不正确，即可得出答案。
12．（2024九上·长顺期中）如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：根据题意，，
四边形为正方形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
与的函数图象为抛物线一部分，顶点为，自变量为．
故选：B．
【分析】根据题意，，再根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，，再根据二次函数图象即可求出答案.
13．（2024九上·长顺期中）当满足　 　时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次项系数不等于0，即可得出答案。
14．（2024九上·长顺期中）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
15．（2024九上·长顺期中）已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜3．
故答案为：-1＜x＜3．
【分析】观察图象，可得出当-1＜x＜3时，抛物线在x轴的下方，即可得出 当y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜3．
16．（2024九上·长顺期中）如图，在中，，将绕点按逆时针旋转到的位置，连接，此时，则旋转角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵
，
由旋转的性质可知，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据旋转性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．（2024九上·长顺期中）请从以下四个方程中任选两个，并用恰当的方法解这两个方程．
①；②；③；④．
【答案】解：①，
∵，，，，
∴方程有两个不等的实数根，
，；
②，
等式两边同时除以得，，
直接开方得，，
，；
③，
∵，，，，
∴方程有两个不等的实数根，
，；
④，
因式分解得，，
∴，或，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据方程的特征，①③可用公式法求解，②④可用因式分解法求解。
18．（2024九上·长顺期中）在下图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知两点的坐标分别为，．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标．
（2）将绕坐标原点顺时针旋转，画出转旋后的．
【答案】（1）解：已知两点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长均为，
∴画出平面直角坐标系如图所示，
∴．
（2）解：绕坐标原点顺时针旋转，根据旋转的性质作图，如图所示，
∴即为所求图形．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据两点的坐标分别为， ，可确定平面直角坐标系原点的位置，建立平面直角坐标系，并根据点C的位置，直接写出点C的坐标即可；（2）根据旋转中心，旋转方向和旋转角度可得出A，B，C旋转之后的对应点A'，B'，C'，再顺次链接即可。
（1）解：已知两点的坐标分别为，，网格中每个小正方形的边长均为，
∴画出平面直角坐标系如图所示，
∴．
（2）解：绕坐标原点顺时针旋转，根据旋转的性质作图，如图所示，
∴即为所求图形．
19．（2024九上·长顺期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m取何值时，此方程总有两个实数根？
（2）若原方程的两个实数根的积为，求m的值．
【答案】（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根，
且，
且.
（2）解：设原方程的两个实数根分别为和，
由题意，得，
根据一元二次方程的根与系数的关系，得，
，
解得．
经检验，是方程的解．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）根据 方程总有两个实数根 ，可得出根的判别式≥0.且二次项系数≠0，即可求出m的取值范围；
（）利用根与系数的关系可得，解得m的值即可。
（1）解：关于x的一元二次方程总有两个实数根，
且，
且.
（2）解：设原方程的两个实数根分别为和，
由题意，得，
根据一元二次方程的根与系数的关系，得，
，
解得．
经检验，是方程的解．
20．（2024九上·长顺期中）阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，．
根据以上材料解答下列各题：
（1）若，求的值；
（2）若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，，
.

（2）解：为等腰三角形.
理由：，
，
，
，，
，，
为等腰三角形.
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）因用配方法可得出，再根据偶次方的非负性得出x=-3，y=4，然后再代入求值，即可得出；
（2）首先根据配方法得出，再根据非负性得出，，即可得出a=c，荆轲得出结论。
（1）解：，
，
，
，，
.
（2）解：为等腰三角形.
理由：，
，
，
，，
，，
.
为等腰三角形.
21．（2024九上·长顺期中）在2024年巴黎奥运会跳水比赛中，中国跳水运动员以其精湛的技术和完美的表现赢得了全世界的瞩目，为了研究跳水运动员的运动轨迹，我们建立了如下的数学模型．跳水运动员从跳板起跳后，其身体（视为一点）在空中的运动轨迹可以近似地看作是一条抛物线．已知跳板的长度为，跳板距水面的高度为．运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度．分别以，所在直线为轴和轴，点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）求跳水运动员入水点距池边点的水平距离（结果保留根号）．
【答案】（1）解：跳板的长度为，运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线过点，
将点代入，得，
跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式，
当时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】根据题意可得出抛物线的顶点坐标，所以可利用顶点式，根据待定系数法即可求解；
（2）由（1）的函数关系式，令y=0，求得x的值，取其正值，即可得出答案。
（1）解：跳板的长度为，运动员起跳后，在离起跳点（跳板右端）水平距离处达到距水面的最大高度，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数解析式为，
抛物线过点，
将点代入，得，
跳水运动员在空中的运动轨迹对应的函数解析式；
（2）解：由（1）知，抛物线对应的函数解析式，
当时，则，
解得，（不符合题意，舍去），
跳水运动员入水点C距池边点O的水平距离为．
22．（2024九上·长顺期中）某电子产品零售商计划对一款智能手表进行降价促销．该智能手表的成本价为每块200元．当售价为每块800元时，其日销售量为50块．市场研究表明，该智能手表的售价每降低10元，其日销售量就会增加5块．已知该智能手表的售价始终不低于成本价．
（1）如果零售商决定降价60元进行销售，那么降价后的日销售利润是多少元？
（2）零售商希望每天通过销售这款智能手表获得的利润为60 000元，那么这款智能手表应降价多少元？
（3）为了最大化日销售利润，零售商应该将这款智能手表的售价定为多少元？此时，每天能获得的最大利润是多少元？
【答案】（1）解：降价60元后，新的售价为（元），
售价每降低10元，日销售量就会增加5块，
降价60元后，日销售量变为（块），
降价后的日销售利润为（元），
答：降价后的日销售利润为43200元；
（2）解：设这款智能手表降价x元，则售价为元，日销售量为块，
根据题意，得，
解得，，
答：这款智能手表应降价200元或300元；
（3）解：设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由题意得，
，
，
该函数的图象开口向下，
，
当时，W有最大值，且最大值为61250，
当售价定为（元）时，每天获得的利润最大，最大为61250元，
答：零售商应该将这款智能手表的售价定为550元，此时，每天能获得的最大利润是61250元．
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据日销售利润=（售价-进价）×日销量，即可得出 降价后的日销售利润 ；
(2)设这款智能手表降价x元，根据日销售利润=（售价-进价）×日销量，可得出方程，解方程即可求解；
（3）设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由此得到关于的二次函数，根据二次函数求最值的计算方法即可求解．
（1）解：降价60元后，新的售价为（元），
售价每降低10元，日销售量就会增加5块，
降价60元后，日销售量变为（块），
降价后的日销售利润为（元），
答：降价后的日销售利润为43200元；
（2）解：设这款智能手表降价x元，则售价为元，日销售量为块，
根据题意，得，
解得，，
答：这款智能手表应降价200元或300元；
（3）解：设这款智能手表降价x元时，日销售利润为W元，由题意得，
，
，
该函数的图象开口向下，
，
当时，W有最大值，且最大值为61250，
当售价定为（元）时，每天获得的利润最大，最大为61250元，
答：零售商应该将这款智能手表的售价定为550元，此时，每天能获得的最大利润是61250元．
23．（2024九上·长顺期中）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点C的纵坐标为3，且．
（1）求b和c的值．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使最小，请求出点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标为3，
点．
，
点．
将点，代入解析式，
得，解得
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，
对称轴为直线．
令，则，解得，．
，．
如图，连接，交直线于点P，连接．
点A关于直线的对称点是点B，
．
C，B，P三点共线，故此时最小，最小值为的长．
设直线的函数解析式为．将点，代入，
得，解得
直线的函数解析式为．
令，得，
点；
（3）解：存在点Q，使得．
点，，
．
设点，
，
，
，即．
当时，解得或，
点或；
当时，方程无实数根．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）首先求得点B，C的坐标，再利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）根据抛物线的对称性可得出A和B对应，连接BC交 抛物线的对称轴 于点P，此时最小，利用待定系数法求得直线BC的解析式，进一步求得直线边长与抛物线对称轴的交点即为点P的坐标。
（3）先求得，设点，利用坐标与图形，结合面积共线得到，然后解方程求得t值即可求解．
（1）解：抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标为3，
点．
，点．
将点，代入解析式，
得，解得；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，
对称轴为直线．
令，则，解得，．
，．
如图，连接，交直线于点P，连接．
点A关于直线的对称点是点B，
．
C，B，P三点共线，故此时最小，最小值为的长．
设直线的函数解析式为．将点，代入，
得，解得
直线的函数解析式为．
令，得，
点；
（3）解：存在点Q，使得．
点，，
．
设点，
，
，
，即．
当时，解得或，
点或；
当时，方程无实数根．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为或．
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