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专题3.1.平方根
1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.平方根的相关概念理解 2
考点2.求一个数的平方根 3
考点3.已知平方根求数 4
考点4.利用平方根解方程 5
考点5.求已知数的算术平方根 6
考点6.算术平方根的非负性 7
考点7.与算术平方根有关的规律问题 8
考点8.算术平方根的实际应用 10
模块3：培优训练 12
1）平方根的定义
如果一个数的平方等于（即），那么叫做的平方根，也叫做二次方根。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
一个正数的正平方根用表示（读作：根号）；的负平方根用-表示（读作：负根号）。
因此一个正数的平方根的就用表示（读作：负根号），其中叫做被开方数。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以平方运算来求一个数的平方根。
2）算术平方根的定义
正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。因此一个数（≥0）的算术平方根记为。
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
考点1.平方根的相关概念理解
例1．（24-25七年级下·重庆·校考期中）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根
C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
【答案】D
【详解】解：A、当时，有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、只有正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意；
C、正数的平方根有两个，它们互为相反数，原说法错误，不符合题意；
D、的平方根为，原说法正确，符合题意；故选：D．
变式1．（24-25七年级下·广东·期中）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（ ）
A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：当时，没有平方根，小丁说法错误；
当为正数时，没有平方根，小张说法正确；
因为，所以一定有平方根，小刘说法正确；故选：C．
变式2．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列各数，没有平方根的是（ ）
A． B．0 C．3 D．9
【答案】A
【详解】解：∵非负数都有平方根，负数没有平方根，∴四个数中只有没有平方根，故选：A．
变式3.（24-25·成都市八年级期中）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D
考点2.求一个数的平方根
例1．（24-25八年级上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【详解】解：，故选：B
变式1．（2025·江苏无锡·一模）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：的平方根是，故选：．
变式2．（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的平方根是6 D．的平方根是
【答案】D
【详解】解：A、 4的平方根是，结论错误，不符合题意；
B、的平方根是，结论错误，不符合题意；
C、没有平方根，结论错误，不符合题意；
D、的平方根是，结论正确，符合题意．故选：D．
考点3.已知平方根求数
例1．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴的平方根是，即平方根是的是．故答案为：
例2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个正数b的两个平方根分别是与，
(1)求和的值．(2)求平方根．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：由（1）得，，∴，
∵36的平方根为，∴的平方根为．
变式1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个数的一个平方根是，则这个数是
【答案】6
【详解】解：∵，∴这个数是6．故答案为：6．
变式2．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ．
【答案】
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴，∴，∴，∴这个正数是，故答案为：．
变式3．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
【答案】25
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，∴，解得：，
即这个正数的平方根是和，∴这个正数为；故答案为：25．
考点4.利用平方根解方程
例1．（24-25七年级下·山东·校考期中）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)或(3)(4)或
【详解】（1）解：
解得
（2）解：
解得或；
（3）解：
解得
（4）解：
解得或．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)或
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
或．
变式2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)或
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
考点5.求已知数的算术平方根
例1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）“的算术平方根”用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的算术平方根为，故选：A．
例2．（24-25七年级上·山东·期末）下列结论正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．一个数的算术平方根一定是正数 D．算术平方根等于本身的数是1
【答案】B
【详解】解：A、的平方根为，说法错误，不符合题意；
B、的的算术平方根是，说法正确，符合题意；
C、一个数的算术平方根一定是正数或零，说法错误，不符合题意；
D、算术平方根等于本身的数为1，0，说法错误，不符合题意．故选：B．
变式1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解： ，2的算术平方根为：，
故选：D．
变式2．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）下列各数中，算术平方根为小数的是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【详解】、1的算术平方根是1，故本选项不符合题意；
、4的算术平方根是2，故本选项不符合题意；
、5的算术平方根是，而是小数，故本选项符合题意；
、9的算术平方根是3，故本选项不符合题意；故选：．
变式3．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法错误的是（　　）
A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是
【答案】C
【详解】解：、的算术平方根是，原选项说法正确，不符合题意；
、的平方根是，原选项说法正确，不符合题意；
、没有平方根，原选项说法错误，符合题意；
、的算术平方根是，原选项说法正确，不符合题意；故选：．
考点6.算术平方根的非负性
例1．（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知a，b是有理数，且满足．那么 ， ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，解得：，，故答案为：，．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，满足等式，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，
∴；故答案为：．
变式2．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ．
【答案】/
【详解】解：∵，∴，，∴，，∴，
故答案为：．
考点7.与算术平方根有关的规律问题
例1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A．3.142 B．31.42 C．314.2 D．
【答案】C
【详解】解：，故选：C．
例2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵规律，第八行第十三个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，数阵是由组成，第行有个数，第行最后一个数为，
∴第八行最后一个数，即第十六个数为，那么第八行第十三个数是，故选：D．
变式1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）根据以下表格里的数据：
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵∴故选：A．
变式2．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行

根据数阵规律，第八行十三个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：第一行
第二行
第三行
第四行

由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：，
∴第八行共有个数，末尾数为，
∴第八行十三个数也为倒数第四个数，即， 故选：D．
变式3．（2025七年级下·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算______；______．
(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．
(3)计算：．
【答案】(1)(2)(3)1013
【详解】（1）解：，故答案为：；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：；
故答案为：；
（3）解：
．
考点8.算术平方根的实际应用
例1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵正方形墙的面积为，∴正方形墙的边长为，
∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点，∴石雕的面积为；
∴石雕的边长为，∵，∴，∴石雕边长的整数部分为2．故答案为：B．
例2．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号）
【答案】
【详解】解：由题意可得，解得或（舍去），
∴该运动员此时的跑步速度为米/秒，故答案为：．
变式1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵“T”字型图形由五个面积均为2的小正方形组成，
∴“T”字型图形面积为10，∴大正方形的面积是10，∴大正方形的边长是，故选：C．
变式2．（24-25八年级上·河南·期中）若一个正方形的面积扩大3倍，则它的边长要扩大的倍数是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【详解】解：设该正方形的边长为a，则其面积是，其面积的3倍是，
∴变化后正方形的边长为，∴，∴它的边长扩大为原来的倍．故选：B．
变式3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．
课题 某景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为．
结果判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中
【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得，或（负值舍去）．
∵正方形卡片的面积为，∴正方形卡片的边长为．
∵，∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）若数a的平方等于，那么数a可能是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵的平方等于，∴为的平方根，∵的平方根为，∴，故选：C．
2.（24-25浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
【答案】D
【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．
C、a+1有可能小于，故C不符合题意．D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．
3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根 C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
【答案】D
【详解】解：A、当时，有平方根，原说法错误，不符合题意；
B、只有正数和0才有平方根，原说法错误，不符合题意；
C、正数的平方根有两个，它们互为相反数，原说法错误，不符合题意；
D、的平方根为，原说法正确，符合题意；故选：D．
4．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是4
C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0
【答案】D
【详解】解：A、是负数，没有平方根，故A不符合题意；
B、，4的算术平方根是2，故B不符合题意；
C、平方根等于本身的数是0，1的平方根是，故C不符合题意；
D、0的平方根与算术平方根都是0，故D符合题意；故选：D．
5．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；D、，故本选项正确；故选：D．
6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵较大数的算术平方根是，∴较大数为，
又这两个数是连续两个正整数，∴较小数为，∴较小数的算术平方根是，故选：D．
7．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）若，满足，则的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，∴的算术平方根是．故选A．
8．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列关于的描述错误的是（　　）
A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根
C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值
【答案】D
【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意；
B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意；
C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意；
D、，则，故选项错误，符合题意．故选：D．
9．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（ ）
A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是
【答案】C
【详解】解：∵方程的解分别为a，b，且，∴，，
∴5的平方根是，故A，B错误，5的算术平方根是，故C正确，D错误．故选：C．
10．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知，则的近似值为（ ）
A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01
【答案】D
【详解】解：∵，∴，故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ．
【答案】
【详解】解：一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数，
这个数是，故答案为：．
12．（24-25七年级下·北京·期中）已知正数a的平方根为x和y，若，则a的值为 ．
【答案】5
【详解】解：∵正数a的平方根为x和y，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：5．
13．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）若x是25的平方根，y是的算术平方根，则的值为 ．
【答案】125或
【详解】解：∵x是25的平方根，∴．∵y是的算术平方根，∴．
当时，；当时，；
综上所述，的值为：125或．故答案为：125或．
13．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知满足，则的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，，
，，
，的平方根是．故答案为：．
15．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ．
【答案】4
【详解】解：由题意得，，解得：，故答案为：4．
16．（24-25七年级下·广东广州·期中）面积为的期刊阅览室恰好被200块面积相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是 ．
【答案】0.8/
【详解】解：设每块地砖的边长是，则，
解得或（舍去），所以每块地砖的边长是，故答案为：0.8．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根：
(1)121；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）∵，
∴的平方根是；
18．（24-25八年级上·重庆·期中）物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计．(1)把这个公式变形成用s表示t的公式；
(2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，，；
（2）当时，，
答：它落到峡谷底经过了6秒时间．
19．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是．
(1)求的值；(2)求这个正数的值及的平方根．
【答案】(1)(2)，的平方根是
【详解】（1）解：由题意得：，，，，；
（2），的平方根是，，的平方根是．
20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7．
(1)求a、b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7，
∴，，∴，；
（2）解：，∴的算术平方根为．
21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）求方程中的值：（1）；（2）．
【答案】（1）（2）或
【详解】（1）解：，
开方，得：，
整理，得：，
解得：．
（2）解：
x-1=6，x-1=-6
或
22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解关于的方程：．
【答案】当时，无解，当时，，当时，方程无实数根，
【详解】解：当时，方程无解，
当时，，
当时，，
当时，方程无实数根．
23．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一元一次方程
(1)求m的值；(2)若是这个方程的解，①求的值；②若，求k的平方根．
【答案】(1)(2)①，②
【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程，∴，解得，
（2）解：由（1）得，∴
∵是这个方程的解，∴，∴，
①；
②．∴k的平方根是．
24．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________；
(2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm；
(3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)能，理由见详解
【详解】（1）解：∵，
∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
∴大正方形的边长为；故答案为：；
（2）解：∵，∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形，
∴大正方形的边长为；故答案为：；
（3）解：能，理由如下：设长方形纸片的长为，宽为，则有：，解得，，
∵为长方形的长，∴，∴，则长为，∵，
∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为．
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专题3.1 平方根
1、了解算术平方根与平方根的概念与性质，会用根号表示一个正数的算术平方根与平方根；
2、了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆运算，会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题；
3、能正确区分平方根与算术平方根的意义。
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模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.平方根的相关概念理解 2
考点2.求一个数的平方根 3
考点3.已知平方根求数 4
考点4.利用平方根解方程 5
考点5.求已知数的算术平方根 6
考点6.算术平方根的非负性 7
考点7.与算术平方根有关的规律问题 8
考点8.算术平方根的实际应用 10
模块3：培优训练 12
1）平方根的定义
如果一个数的平方等于（即），那么叫做的平方根，也叫做二次方根。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
一个正数的正平方根用表示（读作：根号）；的负平方根用-表示（读作：负根号）。
因此一个正数的平方根的就用表示（读作：负根号），其中叫做被开方数。
求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方是平方运算的逆运算，因此可以平方运算来求一个数的平方根。
2）算术平方根的定义
正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。因此一个数（≥0）的算术平方根记为。
3）平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。
4）平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0。
5）平方根的性质：
6）平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如：，，，.
考点1.平方根的相关概念理解
例1．（24-25七年级下·重庆·校考期中）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根 C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
变式1．（24-25七年级下·广东·期中）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（ ）
A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定
变式2．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）下列各数，没有平方根的是（ ）
A． B．0 C．3 D．9
变式3.（24-25·成都市八年级期中）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
考点2.求一个数的平方根
例1．（24-25八年级上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
变式1．（2025·江苏无锡·一模）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·天津东丽·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的平方根是6 D．的平方根是
考点3.已知平方根求数
例1．（24-25七年级下·广东广州·期中）平方根是的数是 ．
例2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）一个正数b的两个平方根分别是与，
(1)求和的值．(2)求平方根．
变式1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个数的一个平方根是，则这个数是 。
变式2．（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ．
变式3．（24-25七年级下·天津·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是 ．
考点4.利用平方根解方程
例1．（24-25七年级下·山东·校考期中）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)；(2)．
变式2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
考点5.求已知数的算术平方根
例1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）“的算术平方根”用数学符号表示为（ ）
A． B． C． D．
例2．（24-25七年级上·山东·期末）下列结论正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．一个数的算术平方根一定是正数 D．算术平方根等于本身的数是1
变式1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）下列各数中，算术平方根为小数的是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．9
变式3．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法错误的是（　　）
A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是
考点6.算术平方根的非负性
例1．（24-25八年级上·广东·期中）已知a，b是有理数，且满足．那么 ， ．
变式1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，满足等式，则 ．
变式2．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ．
考点7.与算术平方根有关的规律问题
例1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知，则的值是（ ）
A．3.142 B．31.42 C．314.2 D．
例2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵规律，第八行第十三个数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）根据以下表格里的数据：
则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·重庆巴南·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵：
第一行
第二行
第三行
第四行

根据数阵规律，第八行十三个数是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025七年级下·福建·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算______；______．(2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______．(3)计算：．
考点8.算术平方根的实际应用
例1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
例2．（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号）
变式1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图1，用五个面积均为2的小正方形拼成了一个“T”字图形，然后将这个“T”字图形前拼成一个如图2所示的大正方形，那么这个大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·河南·期中）若一个正方形的面积扩大3倍，则它的边长要扩大的倍数是（ ）
A．3 B． C． D．9
变式3．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．
课题 某景点卡片及封皮制作
图示
相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为．
结果判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）若数a的平方等于，那么数a可能是（ ）
A．2 B． C． D．
2.（24-25浙江七年级期中）下列各数中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）下列判断正确的是（ ）
A．一定没有平方根 B．只有正数才有平方根 C．正数的平方根仍然是正数 D．的平方根为
4．（2025·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的算术平方根是4
C．平方根等于本身的数是0和1 D．0的平方根与算术平方根都是0
5．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）若，满足，则的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．2 D．
8．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列关于的描述错误的是（　　）
A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根
C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值
9．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（ ）
A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是
10．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知，则的近似值为（ ）
A．0.0101 B．0.101 C．101 D．1.01
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于7；②它是负数．这个数是 ．
12．（24-25七年级下·北京·期中）已知正数a的平方根为x和y，若，则a的值为 ．
13．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）若x是25的平方根，y是的算术平方根，则的值为 ．
13．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知满足，则的平方根是 ．
15．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是 ．
16．（24-25七年级下·广东广州·期中）面积为的期刊阅览室恰好被200块面积相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的平方根：(1)121；(2)；(3)；(4)．
18．（24-25八年级上·重庆·期中）物体自由下落时，如果不考虑空气的阻力，那么物体从开始下落到刚好落地的距离与时间可用公式来估计．(1)把这个公式变形成用s表示t的公式；
(2)有一只野兔从山崖边不慎跌入深的峡谷，则它落到峡谷底经过了多长时间？
19．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是．
(1)求的值；(2)求这个正数的值及的平方根．
20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7．
(1)求a、b的值；(2)求的算术平方根．
21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）求方程中的值：（1）；（2）．
22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解关于的方程：．
23．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的一元一次方程
(1)求m的值；(2)若是这个方程的解，①求的值；②若，求k的平方根．
24．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
(1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________；
(2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm；
(3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由．
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