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专题3.2.实数
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
TOC \o "1-4" \h \z \u TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.无理数的相关概念与识别 3
考点2.实数的概念理解及实数的分类 4
考点3.实数的性质 5
考点4.实数的估算 6
考点5.实数与数轴 7
考点6.实数的大小比较 8
模块3：培优训练 10
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数。无限不循环小数又叫无理数。
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限。无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③看似有规律，实则无循环节的数，如：1.313113111…….
2、实数
1）有理数和无理数统称为实数。
2）实数的分类
实数 实数
3）实数与数轴上的点的关系
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
故实数和数轴上的点一一对应。
4）实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：。
5）两个实数比较大小
①在数轴上表示的两个实数，右边的数比左边的数大。
②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
6）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
考点1.无理数的相关概念与识别
例1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
【答案】D
【详解】解：是分数，是有理数，不符合题意；
是整数，是有理数，不符合题意；是有限小数，是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D．
例2．（24-25八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．，，都是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数都是实数
【答案】D
【详解】是有理数，故选项A和B错误；
π是无理数但不是开方开不尽的数，故选项C错误；
无理数都是实数，故选项D正确．故答案为：D．
变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在实数，，，，…，，中，无理数有 个．
【答案】
【详解】解：，，
在实数，，，，…，，中，有理数有45个，
无理数有（个），故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·山东·期中）有理数和无理数的区别在于（　　）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数
【答案】B
【详解】解：A．有理数可以是无限循环小数，故此选项不符合题意；
B．有理数都可以用分数表示，无理数不能，故此选项符合题意；
C．有理数和无理数都可以是正数和负数，故此选项不符合题意；
D．有理数可以是分数，无理数不能写成分数，故此选项不符合题意．故选：B．
考点2.实数的概念理解及实数的分类
例1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里．
，0，，227，，，，
(1)正有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}
(3)非负整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …}
【答案】(1)(2)，(3)0，227(4)，，
【详解】（1）解：正有理数集合：{…}
（2）解：无理数集合：{，}
（3）解：非负整数集合：{0，227…}
（4）解：分数集合：{，，…}
变式1．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列数中：①②，③，，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨（每两个2之间依次多一个0）（请填序号）
无理数是___________ 整数是___________ 分数是___________
【答案】见解析
【详解】解：①是负整数；②是负分数，③是无理数，是无理数，⑤是正分数，⑥是正整数，⑦0是整数，⑧是负分数，⑨是无理数，
故无理数是③⑨；整数是①⑥⑦，分数是②⑤⑧，故答案为：③⑨；①⑥⑦，②⑤⑧．
变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数填入相应的数集内．
正数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝非负整数集合：｛ …｝
【答案】；；；；
【详解】解：∵，，，
正数集合： 无理数集合：
分数集合： 非负整数集合：．
考点3.实数的性质
例1．（24-25八年级上·成都·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ．
【答案】
【详解】解：的算术平方根是，的绝对值是，的倒数是；
故答案为：，，．
变式1．（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ．
【答案】 /
【详解】解：的绝对值是：，
∴的相反数是：，故答案为：，．
变式2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征：
学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；学生：它是一个无理数；
学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1．
老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、在原点的右边，故A不符合题意；B、在数轴上表示这个数的点在原点的左边；它是一个无理数；它的绝对值小于2；它的平方大于1，故B符合题意；
C、的绝对值大于2，故C不符合题意；D、是有理数，故D不符合题意；故选：B．
变式3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的绝对值是 ，的相反数是 ．
【答案】 / /
【详解】解：的绝对值是；的相反数是
故答案为：；．
考点4.实数的估算
例1．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【详解】解：∵，即，∴的值在1和2之间，故选：A．
例2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：由题意得，大正方形的面积为，∴大正方形的边长为，
∵，∴，∴大正方形的边长最接近的整数是6，故选：C．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
【答案】C
【详解】解：原式，，，，故选：C．
变式2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知小数部分为m，小数部分为n，则 ．
【答案】1
【详解】，，
整数部分为2，则小数部分为，的整数部分为2，则小数部分为．
，，，故答案为：1．
变式3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算：；；，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（ ）次运算后的结果为1．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：依题意，∵，∴，
即，∴第一次运算：，
∵，∴，∴第二次运算：，
∵，∴，∴第三次运算：，
∵，∴，∴第四次运算：，
∴数字1234经过次运算后的结果为1，故选：B．
考点5.实数与数轴
例1．（24-25八年级上·广东·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，∴，
∵，∴，∴，∴点C对应的实数是，故选：A．
变式1．（24-25八年级上·山东·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误；
任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确；实数与数轴上的点一一对应，故③项正确；
整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数，
∴无理数也有无限个，故④项错误．∴正确的是②③．故选：B．
变式2．（24-25七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设C点表示的数为x，则1，解得：．故选：D．
变式3．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴
∴在数轴上点和点之间的所有整数有，
∴在数轴上点和点之间的所有整数之和等于，故答案为：．
考点6.实数的大小比较
例1．（24-25八年级下·辽宁本溪·开学考试）比较实数的大小： 3（填“”，“”或“”）．
【答案】
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．
【答案】
【详解】解：，，，．故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）比较大小： 9．（填“”、“ ”或“”
【答案】
【详解】解：，，即，故答案为：．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
【答案】
【详解】解：，，，，故答案为：
变式3．（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ．
【答案】2（答案不唯一）
【详解】解：∵，，∴，，
则大于小于的整数有：2或3或4．故答案为：2（答案不唯一）．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·广东·二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、不是无理数，故本选项不符合题意；C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A
2．（23-24七年级下·江苏·期中）关于实数和，下列判断中，正确的是（ ）
A．都不是分数 B．都是分数
C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数
【答案】C
【详解】是分数，是有理数，是无理数，不是分数，故选：C．
3．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：当时，算术平方根是，它是有理数，
再取算术平方根是，它还是有理数，再取算术平方根是，它是无理数，
故输出的结果是，故选：．
4．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）无理数a在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据数轴特点可得，，A、，符合题意；
B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选：A ．
5．（24-25七年级下·广东中山·期中）无理数的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：无理数的绝对值是．故选：A．
6．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：实数的倒数是．故选：D．
7．（24-25七年级下·云南曲靖·阶段练习）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据相反数的定义求出的相反数，然后逐一分析选项．
【详解】根据相反数的定义，的相反数是．故选：B．
8．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数
C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点
【答案】D
【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，则此项错误，不符合题意；
B、含有根号的数不一定是无理数，如，则此项错误，不符合题意；
C、任何实数都有相反数和绝对值，但实数没有倒数，则此项错误，不符合题意；
D、任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点，则此项正确，符合题意；故选：D．
9．（24-25七年级下·江西南昌·期中）估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在1和2之间
【答案】A
【详解】解：∵，∴．故选A．
10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若整数满足，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．无法确定
【答案】B
【详解】解：整数满足，，，，
的最大值为，的最小值为，当时，的值最小，
的最小值为，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，数轴上一动点在和之间，则点表示的无理数可能是 （任写一个）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：设点在数轴上表示的数为，由数轴可得：，
，，，点在数轴上表示的无理数可能是．
故答案为：（答案不唯一）．
12．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：
（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）的相反数是 ，绝对值是 ；
（3）若，则 ．
【答案】
【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是；
（2）的相反数是 ，绝对值是；
（3）∵，∴．故答案为：（1）；（2）；（3）．
13．（24-25七年级上·浙江·期中）写出两个无理数，使它们的和为5： ．
【答案】和（答案不唯一）
【详解】解：，故答案为：和（答案不唯一）．
14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）若为整数，且，是的小数部分，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，的整数部分，小数部分，
，故答案为：．
15．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f．(1)点A表示的数是______，表示的点可能是______；
(2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大；
(3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______；
(4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______．
【答案】(1)，E；(2)B，F；(3)；(4)或4．
【详解】（1）解：由数轴可得， 点A表示的数是，
∵，∴表示的点可能是点E，故答案为：，E；
（2）解：由数轴可得，在原点左侧，点B到原点的距离最大，∴点B表示的数最小，
在数轴上，点F到原点的距离最大，∴点F表示的数的绝对值最大，故答案为：B，F；
（3）解：∵点D是的中点，，∴，∴点A表示的数是，
∴点E表示的数是，故答案为：；
（4）解：由数轴可知，点C表示的数是1，
∵点G到点C的距离为3，∴点G对应的数是或，故答案为：或．
16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是 。
【答案】2
【详解】解：∵，∴，依题意，，
∴，∴，∵，
∴当时，则，不符合题意；
当时，则，不符合题意；
当时，则，，符合题意；
当时，则，不符合题意；故答案：2．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）把下列各数的序号填在相应横线上：①0；②；③；④；⑤；⑥（每两个5之间依次增加一个2）；⑦．
（1）整数： ；（2）负实数： ；（3）无理数： ．
【答案】（1）①③⑤；（2）④⑤⑦；（3）②④⑥
【详解】解：（1），，∴整数有①③⑤；
（2）负实数有④⑤⑦；（3）无理数有②④⑥．
18.（24-25七年级上·浙江·专题练习）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来：
3，，，0，，．

【答案】见解析，
【详解】解：，，用数轴表示为：
，
它们的大小关系为：．
19．（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)的绝对值是，相反数是
(2)的绝对值是，相反数是
(3)的绝对值是，相反数是
(4)的绝对值是，相反数是
【详解】（1）解：的绝对值是，相反数是
（2）解：的绝对值是，相反数是
（3）解：的绝对值是，相反数是
（4）解：的绝对值是，相反数是
20．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．
阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．
假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，
于是，则a是2的倍数．
再设，其中m是整数，就有：，也就是：，
所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．
解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，
两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，
因为：______________，所以：是一个无理数．
【答案】；；为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾
【详解】假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），
则，两边同时平方得：，
所以：，可得：，所以：，
因为：为有理数，必为有理数，而为无理数，与前面所设矛盾，
所以：是一个无理数．
21．（24-25七年级下·广东珠海·期中）阅读下面的文字，解答问题：
是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
(1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，求．
【答案】(1)3，(2)1(3)
【详解】（1）解：∵，即，∴的整数部分为3，即，
∵，即∴的小数部分为，即故答案为：3，；
（2）解：∵，∴，∴的小数部分为，即；
由可得，，∴，
∴的小数部分为，即；∴．
（3）解：∵，即，∴，
∴的整数部分为12，小数部分为，∴，
又∵，其中x是整数，且，∴，
∴，∴．
22．（24-25七年级下·贵州·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）．
【答案】(1)(2)，(3)1，作图见解析
【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即，故答案为：；
（2）解：如图，设数轴原点为，数1表示的点为，
∵图中小正方形对角线长为，∴，
∴，，
∴，两点表示的数分别为和，故答案为：，；
（3）解：根据图3作法，则图中阴影部分正方形的边长为；
图3拼成的大正方形面积为5，则大正方形边长为，
即图3裁出的长方形的对角线长为，则可利用如下图所示作图：
其中，，，∴，∴点表示的数为．
23．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：(1)_________，_________；(2)求的值．
【答案】(1)3，；(2)1．
【详解】（1）解：∵，即，的整数部分为3，∴，
∵，即，的整数部分为，∴，故答案为：3，；
（2）解：∵，即，的整数部分为，
∴，∴．
24．（24-25七年级下·广西·校考期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)(2)，见解析
【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
（1）根据材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
【详解】（1）解：，即
的整数部分为9．的小数部分为．
（2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ，∴可设
画出示意图如图所示
由图中面积计算，，，
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
∴得方程，解得，即
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专题3.2.实数
1、了解无理数与实数的相关概念与实数的分类；
2、了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数内仍然成立；
3、能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化有理数计算；
4、能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
TOC \o "1-4" \h \z \u TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.无理数的相关概念与识别 3
考点2.实数的概念理解及实数的分类 4
考点3.实数的性质 5
考点4.实数的估算 6
考点5.实数与数轴 7
考点6.实数的大小比较 8
模块3：培优训练 10
1、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数。无限不循环小数又叫无理数。
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限。无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类，如；.②开方开不尽的数，如；③看似有规律，实则无循环节的数，如：1.313113111…….
2、实数
1）有理数和无理数统称为实数。
2）实数的分类
实数 实数
3）实数与数轴上的点的关系
在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
故实数和数轴上的点一一对应。
4）实数的性质（重点）：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。
（1）与互为相反数，且互为相反数的两个数的绝对值相等。
（2）与互为倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数。
（3）绝对值的非负性：。
5）两个实数比较大小
①在数轴上表示的两个实数，右边的数比左边的数大。
②数轴上，如果点A，点B所对应的数分别为a，b，那么A,B两点的距离。
6）估算无理数的方法：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
需要记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236
考点1.无理数的相关概念与识别
例1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）是一个数学函数，它表示自然数的指数次幂．其中自然数是一个无理数（）则在下列实数中，（ ）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
例2．（24-25八年级上·安徽芜湖·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．，，都是无理数 B．带根号的数都是无理数
C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数都是实数
变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在实数，，，，…，，中，无理数有 个．
变式2．（24-25七年级下·山东·期中）有理数和无理数的区别在于（　　）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数
考点2.实数的概念理解及实数的分类
例1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里．
，0，，227，，，，
(1)正有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}
(3)非负整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …}
变式1．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）下列数中：①②，③，，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨（每两个2之间依次多一个0）（请填序号）
无理数是___________ 整数是___________ 分数是___________
变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）把下列各数填入相应的数集内．
正数集合：｛ …｝无理数集合：｛ …｝
分数集合：｛ …｝非负整数集合：｛ …｝
考点3.实数的性质
例1．（24-25八年级上·成都·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ．
变式1．（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ，的相反数是 ．
变式2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生，，，争先恐后地说出了这个数的一些特征：
学生：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；学生：它是一个无理数；
学生：它的绝对值小于2；学生：它的平方大于1．
老师表扬了，，，四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的这个数可能是下列四个数中哪一个？（　）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）的绝对值是 ，的相反数是 ．
考点4.实数的估算
例1．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
例2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）估计的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
变式2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知小数部分为m，小数部分为n，则 ．
变式3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意实数表示不超过的最大整数，如，，．对数字227进行如下运算：；；，这样对数字227运算3次后的值就为1，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为1，则数字1234经过（ ）次运算后的结果为1．
A．3 B．4 C．5 D．6
考点5.实数与数轴
例1．（24-25八年级上·广东·阶段练习）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）

A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·山东·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（ ）
①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
变式2．（24-25七年级上·浙江·专题练习）如图：数轴上表示1、的对应点分别为A、B，且点A为线段的中点，则点C表示的数是（　　）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·河南·阶段练习）如图，在数轴上点和点之间的所有整数之和等于 ．
考点6.实数的大小比较
例1．（24-25八年级下·辽宁本溪·开学考试）比较实数的大小： 3（填“”，“”或“”）．
例2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．
变式1．（24-25七年级上·浙江·专题练习）比较大小： 9．（填“”、“ ”或“”
变式2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）比较大小： ．
变式3．（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）请写出一个大于且小于的整数 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·广东·二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江苏·期中）关于实数和，下列判断中，正确的是（ ）
A．都不是分数 B．都是分数
C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数
3．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）按如图所示的程序框图计算，若，则输出的结果为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）无理数a在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·广东中山·期中）无理数的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）实数的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
7．（24-25七年级下·云南曲靖·阶段练习）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．含有无限小数的数都是无理数 B．含有根号的数都是无理数
C．任何实数都有倒数，相反数和绝对值 D．任何实数在数轴上都能找到唯一对应的点
9．（24-25七年级下·江西南昌·期中）估计的值（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在1和2之间
10．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若整数满足，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．无法确定
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·天津北辰·期中）如图，数轴上一动点在和之间，则点表示的无理数可能是 （任写一个）
12．（2024七年级上·浙江·专题练习）填空：（1）的相反数是 ，绝对值是 ；
（2）的相反数是 ，绝对值是 ；（3）若，则 ．
13．（24-25七年级上·浙江·期中）写出两个无理数，使它们的和为5： ．
14．（24-25七年级下·广东汕头·期中）若为整数，且，是的小数部分，则 ．
15．（24-25七年级上·浙江·期中）如图，数轴上点A，B，C，D，E，F对应的实数分别为a，b，c，d，e，f．(1)点A表示的数是______，表示的点可能是______；
(2)点______表示的数最小，点______表示的数的绝对值最大；
(3)若点D是的中点，，则点E表示的数是______；
(4)点G为数轴上一点，若点G到点C的距离为3，则点G对应的数是______．
16．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为，它介于整数和之间，则的值是 。
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·云南昆明·阶段练习）把下列各数的序号填在相应横线上：①0；②；③；④；⑤；⑥（每两个5之间依次增加一个2）；⑦．
（1）整数： ；（2）负实数： ；（3）无理数： ．
18.（24-25七年级上·浙江·专题练习）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“”号把这些数连接起来：
3，，，0，，．

19．（2025·广东深圳·一模）求下列各数的绝对值和相反数．
(1)；(2)；(3)；(4)．
20．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数．
阅读材料：“无理数”的由来：为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题．
假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，
于是，则a是2的倍数．
再设，其中m是整数，就有：，也就是：，
所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数．
解：假设是一个有理数．则（a、b是整数且a、b互素且），则，
两边同时平方得：_____________，所以：，可得：，所以：______________，
因为：______________，所以：是一个无理数．
21．（24-25七年级下·广东珠海·期中）阅读下面的文字，解答问题：
是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是我们用来表示的小数部分，又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
(1)如果的整数部分为a，的小数部分为b，则_______，_______；
(2)已知的小数部分为a，的小数部分为b，求的值；
(3)若，其中x是整数，且，求．
22．（24-25七年级下·贵州·期中）阅读下面的文字，解答问题，如图（1），把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A，B两点表示的数分别为______，______；
(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正方形的边长为______；请用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上找到表示的点（保留作图痕迹）．
23．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列材料：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定实数m的整数部分记为．小数部分记为如：，．
解答以下问题：(1)_________，_________；(2)求的值．
24．（24-25七年级下·广西·校考期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：，即，．
的整数部分为1，小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图．
解：由图中面积计算，，
，．
是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略，
得方程，解得，即．
解决问题：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；(2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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