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2026届高考数学一轮复习专题特训 　空间向量与立体几何
一、选择题
1．已知向量，，若，则( )
A.-5 B.5 C.4 D.-1
2．如图，在三棱锥中，，，，，E是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
3．已知是空间的一组单位正交基，是空间的另一组基.若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标为( )
A. B. C. D.
4．已知空间向量，，，若，则( )
A.2 B.-2 C.14 D.-14
5．已知向量,,是一组单位向量,且两两垂直.若,,则的值为( ).
A.7 B. C.28 D.11
6．若,,,则的值为( )
A. B.0 C.1 D.2
7．已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
8．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.与t有关
二、多项选择题
9．在正方体中，下列各式运算的结果为的有( )
A. B.
C. D.
10．在平行六面体中，下列各式中运算的结果为向量的是( )
A． B．
C． D．
11．已知平面过点，其法向量为，则下列点在平面内的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．空间向量的概念：在空间中，具有__________和__________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的__________.
13．已知向量，，若，则___________.
14．已知,,且,则_________
15．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为___________.
四、解答题
16．如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，那么n是平面的一个法向量吗？
17．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．如图,四面体OABC的所有棱长都是1,D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE.
（1）计算DE的长;
（2）求点O到平面ABC的距离.
19．已知空间中三点,,,设,.
（1）若,且,求向量;
（2）已知向量与互相垂直,求k的值;
20．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E，F分别为棱AB，BC的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：由，故，
即有，解得.
故选：B.
2．答案：D
解析：因为E是线段的中点，，
所以
，
故选：D
3．答案：B
解析：由题意有，
设，
则
则有，
得，
在基下的坐标为.
故选：B
4．答案：C
解析：因为空间向量，，，
如果，则，
所以，
解得，
所以，
故选：C.
5．答案：C
解析：向量,,是一组单位向量,且两两垂直,
所以且.
因为,,
所以.
故选:C.
6．答案：C
解析：因为,,,
所以.
故选:C
7．答案：C
解析：因为空间向量,,
则,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
8．答案：A
解析：因为向量在面上的投影向量为，
则.
因为在向量上的投影向量为，
则.
所以.
所以向量，的夹角为.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：A.；
B.；
C.；
D..
故选BCD.
10．答案：ABC
解析:解:如图所示：
A中，；
B中，；
C中，，
D中，．
故选:ABC．
11．答案：ABD
解析：设平面内的点，
结合法向量的定义可得，
即，
A若，，则，故点为，故A正确；
B若，，则，故点为，故B正确；
C若，，则，故点为，故C错误；
D若，，则，故点为，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：大小；方向；空间向量的长度或模
解析：
13．答案：
解析：由题意可得，
则，
解得.
故答案为：.
14．答案：或
解析：因,,,
所以,解得:.
故答案为:.
15．答案：
解析：，点P到平面的距离为.
故答案为：.
16．答案：是
解析：由题意，n是平面的一个法向量，所以，而，
所以，于是n是平面的一个法向量.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)作的中点G，
连接EG，AG，如下图所示，
∵E，G分别为，的中点，
则，，
且，，则，，
∴四边形ADEG是平行四边形，则，
∵F，G分别为的中点，则，，
∴四边形是平行四边形，则，
故，且平面，平面，
∴平面．
(2)以A为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量，
则，
令，则，
故平面的一个法向量，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1,所以该四面体为正四面体,
,而且,所以,即,所以DE的长为.
（2）因为四面体OABC为正四面体,所以点O在平面ABC的射影为的中心,
的外接圆半径为,所以点O到平面ABC的距离为.
19．答案：（1）或;
（2）5.
解析：空间中三点,,,
所以,
,
,
（1）,且,设,
,
,,
或;
（2）,,
且向量与互相垂直,
,解得,
k的值是5.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为平面ABC，
平面ABC，所以.
因为E，F分别为棱AB，BC的中点
所以，因为，
所以，
又，所以平面，则.
设，易得，
则，所以，
又，所以平面
(2)以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设，则，
，，，
则.
由(1)知平面的一个法向量为.
，.
设平面的法向量为，
则
取
设平面与平面的夹角为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为.
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