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2026届高考数学一轮复习专题特训 概率
一、选择题
1．已知事件A，B互斥，且，，则( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.9
2．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和.记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
3．已知事件A，B相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
4．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知事件A，B互斥，，且，则( )
A. B. C. D.
6．甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
7．将一个正六面体的骰子连掷两次，则它们的点数相同的概率是( )
A. B. C. D.
8．抛掷一个骰子,将得到的点数记为a,则a,4,5能够构成锐角三角形的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A,B,C,D判断正确的有( )
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
11．某商场开业期间举办抽奖活动,已知抽奖箱中有30张奖券,其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回,甲抽完之后乙再抽,记A表示甲中奖,B表示乙中奖,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．从0，1，3，6，8中随机选2个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为_________.
13．管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______条鱼.
14．一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，H，O，N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中随机摸出2个小球，所标元素能组成“NO（一氧化氮）”的概率是________.
15．已知随机事件A，B，C，A与B相互独立，B与C对立，且，，则__________.
四、解答题
16．一个盒子中装有6支圆珠笔,其中3支一等品（标号为,,）,2支二等品（标号为,）,1支三等品（标号为C）,若从中不放回地依次随机抽取2支.设事件“两支都是一等品”,“含有三等品”.
（1）用圆珠笔的标号列出所有可能的抽取结果;
（2）求事件M,N的概率.
17．某班在一次班会课上推出了一项趣味活动：在一个箱子里放有4个完全相同的小球,小球上分别标注有1、2、3、4号码.参加活动的学生有放回地摸两次球,每次摸1个,并分别记录下球的号码数字x,y.奖励规则如下：①若xy≤3,则奖励笔记本1本；②若,则奖励水杯1个；③其余情况奖励饮料1瓶.
(1)求小王获得笔记本的概率；
(2)试分析小王获得水杯与获得饮料,哪一个概率大
18．有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座.
（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
（3）求这四人恰有一人坐在自己的席位上的概率.
19．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是：每车每次租用时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人来该租车点租车骑游（两人互不影响），设甲、乙不超过2小时还车的概率分别为，，2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过4小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
20．甲、乙两人进行摸球游戏,游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1,2,3,4的4个球,甲先随机摸出一个球,记下编号,设编号为m,放回后乙再随机摸出一个球,也记下编号,设编号为n,用表示摸球的结果,如果,算甲赢,否则算乙赢.
(1)写出该实验的样本空间；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可知.
故选：B.
2．答案：B
解析：由题意知，
不放回地选取共有20个样本点，
标签上的数字之和为6有4个样本点，
分别为，，，，所以，
有放回地选取共有25个样本点，
标签上的数字之和为6有5个样本点，
分别为，，，，所以，
则.
故选：B.
3．答案：A
解析：由，得，
则.
故选：A.
4．答案：C
解析：记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为a、b、c、d，
则样本空间，
记事件A表示“其中一个节气是立春”，
则，
由古典概型可知.
故选：C.
5．答案：B
解析：由事件A，B互斥，，
得，而，
联立解得，故.
故选：B
6．答案：D
解析：恰有一人成功破译的概率为.
故选：D.
7．答案：C
解析：基本事件共36个，
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
点数相同共包括，，，，，，6个基本事件，
所求概率为.
故选：C.
8．答案：C
解析：由题意可知,基本事件的总数是6,
结合大边对大角可知,最大边对应的最大角为锐角,则a,4,5能够构成锐角三角形,
当时,因为不符合要求;
当时,因为不符合要求;
当时,因为不符合要求;
当时,因为符合要求;
当时,因为符合要求;
当时,因为符合要求;
所以能构成锐角三角形的共有3种情况,
故能够构成锐角三角形的概率.
故选:C.
9．答案：CD
解析：对于A，两个事件能同时发生，故不互斥，即A错误；
对于B，两个事件也可同时发生，故不互斥，可得B错误；
对于C、D中两个事件是不可能同时发生的，故它们是互斥的.
故选：CD．
10．答案：ABD
解析：抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,
在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；
在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：由题意可知,则A正确；
,则B错误；
,则C正确；
,则D错误；
故选：AC.
12．答案：/0.4
解析：从0，1，3，6，8中随机选2个不同的数，
有，，，，，，，，，，共10种情况；
其中满足和为偶数的有，，，，共4种情况，
即概率为，
故答案为：.
13．答案：1500
解析：由题意可得:从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条,
所有池塘中有标记的鱼的概率为:,
又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼,
所以可以估计该池塘内共有条鱼.
14．答案：
解析：从中摸出2个小球，共有：
；；；；；，6种结果，
能组成“NO（一氧化氮）”的只有1种，故所求概率为.
故答案为：
15．答案：0.42
解析：因为B与C对立且，
所以，
又A与B相互独立且，
所以.
故答案为：0.42
16．答案：（1）答案见解析
（2）,.
解析：（1）设6支圆珠笔标号为,,,,,C,
从这6支圆珠笔中依次不放回随机抽取2个,所有可能的结果有:
,
,
共30种.
（2）事件“两支都是一等品”
所有可能结果有:共6种,
所以.
即从6支圆珠笔中,随机抽取两支都是一等品概率为.
事件“含有三等品”
所有可能结果有:,共10种,
所以,
即从6支圆珠笔中,随机抽取两支含有三等品概率为.
17．答案：(1)
(2)获得水杯的概率大
解析：(1)小王两次摸球,的情况包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共有5种情况,
所以小王获得笔记本的概率
(2)满足的基本事件包含(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)共6个基本事件,所有小王获得水杯的概率,
小王获得饮料的概率,
因为,所有获得水杯的概率大.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：将A，B，C，D四位贵宾就座情况按从左至右排席位，依次是a，b，c，d席位，如图所示.
由图可知，样本点共有24个.
（1）设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，
则事件M只包含1个样本点，所以.
（2）设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，
则事件N包含9个样本点（即图中标记为“O”的情形），
所以.
（3）设事件S为“这四人恰有一人坐在自己的席位上”，
则事件S包含8个样本点（即图中标记为“√”的情形），
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）甲、乙两人的租车时间均未超过2小时的概率，
甲、乙两人的租车时间均超过2小时且不超过3小时的概率，
甲、乙两人的租车时间均超过3小时的概率，
故甲、乙两人所付租车费用相同的概率.
（2）甲免费、乙租车费用为4元的概率，
乙免费、甲租车费用为4元的概率，
甲、乙租车费用均为2元的概率，
故甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
20．答案：(1)答案见解析
(2)不公平,理由见解析
解析：(1)由题意可得样本空间为
.
(2)这种游戏规则是不公平的,理由如下：
设甲赢为事件A,乙赢为事件B,则A,B为对立事件,
由题意事件A包含的基本事件有,,,,,,共6个.
由古典概型的概率计算公式可得,
所以,
所以,即这种游戏规则不公平
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