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广安加德学校2024-2025学年度上期高2023级第一次月考
数学试题
一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
2．向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
5．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件
7．已知，，则点B到直线AC的距离为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”， 为“是合格品”， 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．，为对立事件
C．，相互独立 D．
三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是
13．已知，，三点共线，则
14．某传媒机构举办闯关答题比赛，比赛分两轮，每轮共有4道题，参赛者必须从前往后逐道题回答．在第一轮中，若中途回答错误，立马淘汰，若四道题全部回答正确，就能获得一枚复活币并进入下一轮答题，这枚复活币在下一轮答题中最多只能使用一次；在第二轮中，若首次遇到某一道题回答错误时，系统会自动使用第一轮获得的一枚复活币复活一次，即视为答对该道题，其后若回答错误，和第一轮一样，立马淘汰；两轮都通过就可以获得优胜者纪念奖章．对于每轮的4道题，若某参赛者从前往后每道题回答正确的概率均依次为，，，，且每道题回答正确与否不受其它题的影响，则该参赛者能进入第二轮答题的概率为 ；该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两人都译不出密码的概率；
(2)至多一人译出密码的概率.
16．已知，，，，，求：
(1)，，；
(2)与夹角的余弦值.
17．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若．
(1)求；
(2)求证：直线平面．
18. 如图，在多面体中，，，，平面，，，.
(1)求证：直线平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
19．《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益，根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”，可以重复参赛，当获得“优秀小组”达到四次时，可以获得荣誉证书一张，已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为．
(1)若，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组"的概率；
(2)当，且每轮比赛互不影响，甲乙同学想要获得荣誉证书，在两人发挥最好的情况下，请问至少要参加多少轮竞赛．
广安加德学校2024-2025学年度上期高2024级第一次月考
数学答案
1．【答案】D
【详解】A选项，袋中有形状、大小、质地完全一样的个红球和个白球，从中随机抽出一个球，是红球的概率是，故本项错误； B选项, 天气预报“明天降水概率”，是指明天有的概率会下雨，故本选项错误；C选项，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票张，可能会中奖，故本选项错误；D选项，连续掷一枚均匀硬币，若次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确.故选D.
2．【答案】A
【详解】由题意，，，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：A．
3．【答案】C
【详解】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4．【答案】B
【详解】由题意， ，，
∵，，共面，
∴存在实数唯一实数对，使得，
，
∴，解得．
故选：B．
5．【答案】A
【详解】解：由题意，，，
又，，
所以，即有，
故选：A．
6．【答案】D
【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；
中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；
发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；
与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；
故选：D．
7．【答案】C
【详解】因为，，
所以，，
，
，
所以在方向上的投影为，，
所以点B到直线AC的距离为.
故选：C.
8．【答案】B
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
故选：B.
9．【答案】ABD
【详解】解：由题意知、、为互斥事件，∴，故B正确、C错误；
∵从件中抽取产品符合古典概型的条件，∴、、，
则，∴A、D正确，
故选：ABD.
10．【答案】AB
【详解】设，所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；
设，则，
所以，无解，
所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
因为，
所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；
因为，
所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．
故选：AB．
11．【答案】AD
【详解】，是随机事件，，且，
对于A， ，即，
，即，
又，故，A正确；
对于BCD，因为，
所以，由于，，
则，所以，不是对立事件；
又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确.
故选：AD
12．【答案】
【详解】由，得的中点坐标为，
所以的中点关于平面的对称点的坐标是.
故答案为：.
13．【答案】1
【详解】,,
由题得，所以，解得1，
故答案为：1.
14．【答案】
【详解】该参赛者能进入第二轮答题的概率为
该参赛者能获得优胜者纪念奖章的概率：
故答案为：，
15．【答案】(1) (2)
【详解】（1）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，
则，，，，
,
∴两人都译不出密码的概率为；...............................................6分
（2）事件“密码至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，
“两人都译出密码”的概率为，
则“密码至多一人译出密码”的概率为，
∴两人中至多一人译出密码的概率为.............................................................13分
16．【答案】(1)，；(2)
【详解】（1），则，...................1分
解得，........................2分
，...............................4分
又，则，.............................5分
，..........................6分
；..............................7分
由（1），....................9分
，..........................11分
设与夹角为，则．.........................15分
17． 【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1） 由题意得，，....................2分
所以
.......................3分
，.............................4分
，.......................5分
，.................6分
所以.............................7分
，.............................8分
，...............................9分
，..............................10分
因为，............12分
，........................14分
所以，，
因为，平面，所以平面.........................15分
18.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以 ，
所以，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，......................................1分
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量，则，
令，得，所以，则，.............................4分
又因为平面
所以直线平面...........................5分
（2）由，得，，
设平面的法向量为，则，令
得，.........................8分
所以
则平面与平面夹角的余弦值为..............................11分
（3）由于，平面的法向量，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为................................17分
19．【答案】(1) (2)7轮
【详解】（1）记他们获得“优秀小组”的事件为事件A，则事件A包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题．
...........................................7分
（2）由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
........................................11分
又，当且仅当时，等号成立，..........................13分
，
................................14分
令，则，开口向下，对称轴，当时，，
设要进行n轮竞赛，则，解得，........................16分
，至少要进行7轮竞赛．...........................17分

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