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2026届高考数学一轮复习专题特训 计数原理
一、选择题
1．若,则n的值为( )
A.12 B.5 C.12或5 D.3或5
2．在的展开式中,含项的系数为( )
A.-56 B.56 C.-28 D.28
3．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书,甲同学想从中选出1本阅读,则不同的选法共有( )
A.9种 B.10种 C.19种 D.90种
4．从甲、乙等12人中任选5人,则甲、乙至多有1人被选中的选法共有( )
A.252种 B.420种 C.672种 D.10080种
5．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序,从宫音开始到羽音,依次为宫,商,角,徵,羽．若将这五个音阶排成一列,形成一个音序,且要求宫、羽两音节不相邻,可排成不同的音序的种数为( )
A.12种 B.48种 C.72种 D.120种
6．展开后,共有多少项？( )
A.3 B.4 C.7 D.12
7．将3张相同的消费券分给9个人，每人至多分到1张，则不同的分法共有( )
A.60种 B.72种 C.84种 D.90种
8．某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理5门课,要求第一节不安排体育,语文和数学必须相邻,则不同的排课方法共有( )
A.18种 B.36种 C.54种 D.72种
二、多项选择题
9．下列选项中，属于排列问题的是( )
A.从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B.有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C.从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D.从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
10．已知,则( )
A.3 B.6 C.8 D.10
11．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,下列说法正确的有( )
A.所有可能的方法有种
B.如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有61种
C.如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,则不同的安排方法共有20种
三、填空题
12．已知，则________.
13．的展开式中的系数为________.
14．已知,则_______________.
15．2020年,新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心,八方驰援战疫情,众志成城克时难,社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎,重庆某医院派出4名医生,2名护士支援湖北,现从这6人中任选2人定点支援湖北某医院,则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为________.
四、解答题
16．求值：（用数字作答）
(1)
(2)
17．计算( )
A. B. C. D.
18．已知,则( )
A.7 B.21 C.35 D.42
19．4名男生和3名女生站成一排,分别有多少种不同的站法
（1）3名女生不相邻.
（2）男生甲不在排头,女生乙不在排尾.
（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变.
20．在的展开式中,______.
现在有以下三个条件:
条件①:第4项和第2项的二项式系数之比为;
条件②:只有第6项的二项式系数最大:
条件③:其前三项的二项式系数的和等于56.
请从上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上,并解答下列问题:
（1）展开式中所有二项式系数的和;
（2）展开式中的系数最大项.
参考答案
1．答案：B
解析：由组合数的性质可得,解得,
又,
所以或,
解得（舍去）或.
故选:B
2．答案：D
解析：展开式通项为,
令,得,故系数为.
故选：D.
3．答案：C
解析：由分类加法计数原理知,不同的选法种数为.
故选：C.
4．答案：C
解析：当甲和乙其中一人被选中的情况数共有种
当甲或乙两人均未被选中的情况数共有种不同挑选方法;
则甲、乙至多有1人被选中的选法共有种不同挑选方法,
故选:C.
5．答案：C
解析：先排其它三个,然后在空档插入宫、羽两音节,方法数为.
故选：C．
6．答案：D
解析：根据多项式的乘法运算法则分两步,
第一步,在第一个因式中选一项,有种方法；
第二步,在第二个因式中选一项,有种方法；
根据乘法分步原理可得,展开后共有项,
故选：D.
7．答案：C
解析：依题意可得9人中有3人各得1张消费券，
则不同的分法共有种.
故选：C
8．答案：B
解析：先考虑第一节安排体育课,语文和数学必须相邻,则将数学与语文捆绑,形成一个大元素,
将这个大元素与英语、物理课进行排序,共有种排法;
接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形,只需将数学与语文捆绑,形成一个大元素,
将这个大元素与其余门课进行排序,共有种排法.
由间接法可知,不同的排法种数为种.
故选:B.
9．答案：ACD
解析：对于A，从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A正确；
对于B，有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B错误；
对于C，从3，5，7，9中任选两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确；
对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确.故选ACD.
10．答案：AD
解析：因为,故或,即或
故选:AD
11．答案：BC
解析：对于选项A,安排甲、乙、丙三位同学到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,
每位同学只能选择一个社区进行活动,且多个同学可以选择同一个社区进行活动,
故有种选择方案,错误；
对于选项B,如果社区A必须有同学选择,则不同的安排方法有（种）,正确；
对于选项C：如果同学甲必须选择社区A,则不同的安排方法有（种）,正确；
对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区,
再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况,则不同的安排方法共有（种）,
错误.
故选：BC.
12．答案：80
解析：依题意，.
故答案为：80
13．答案：30
解析：对,有,
当时,有,当时,有,
则的展开式中的系数为.
故答案为:30.
14．答案：6
解析：,解得或,
因为,所以.
故答案为：6.
15．答案：
解析：因从这6人中任选2人,有种方法,而恰有1名医生和1名护士被选中的方法数为种,
故由古典概型概率公式,可得恰有1名医生和1名护士被选中的概率为.
故答案为:.
16．答案：(1)
(2)715
解析：(1).
(2)
.
17．答案：C
解析：.
故选：C.
18．答案：B
解析：由,则或,解得或,
所以.
故选：B.
19．答案：（1）1440种
（2）3720种
（3）840种
解析：（1）先安排男生,有种可能,再将3名女生插空,有种可能,故3名女生不相邻的站法有种;
（2）4名男生和3名女生站成一排,共有种情况,
其中男生甲在排头的情况有种情况,女生乙在排尾的情况有种情况,男生甲在排头的同时,女生乙在排尾的情况有种情况,
所以男生甲不在排头,女生乙不在排尾的情况有种;
（3）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变,可以用定序倍缩法进行求解,即站法有种.
20．答案：（1）1024
（2）
解析：（1）选条件①:因为第4项和第2项的二项式系数之比为;
所以,即,
即,解得（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和;
选条件②:因为只有第6项的二项式系数最大;
所以n为偶数,且,解得.
所以展开式中所有二项式系数的和;
选条件③:因为其前三项的二项式系数的和等于56,
所以,
即,即,解得（舍）或.
所以展开式中所有二项式系数的和;
（2）由（1）二项式为,
其通项公式为:,
可知第项的系数为,
令,解得,即,
所以第项的系数最大,最大项为.
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