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2026届高考数学一轮复习专题特训 立体几何初步
一、选择题
1．如图，长方体被截去一小部分，其中，则截去的几何体是( )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.五棱柱
2．已知一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3．如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
4．已知平面，直线m，n，如果，且，那么n与的位置关系是( )
A.相交 B.或 C. D.
5．圆台的上、下底面半径分别是1和5,且圆台的母线长为5,则该圆台的体积是( ).
A. B. C. D.
6．已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上,则圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
7．已知空间两不同直线m,n,两不同平面,,下列命题正确的是( )
A.若且,则
B.若且,则
C.若且,则
D.若m不垂直于,且,则m不垂直于n
8．立体几何中的四个基本事实是学习立体几何的基础，下列四个命题中不是立体几何中的基本事实的是( )
A.过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.垂直于同一条直线的两条直线平行
二、多项选择题
9．下面说法正确的是( )
A.多面体至少有四个面
B.棱柱所有的面都是平行四边形
C.棱台的侧面都是梯形
D.以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周,形成的几何体是圆台
10．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
11．若m,n为直线,,为两个平面,则下列结论中正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
三、填空题
12．已知梯形用斜二测画法得到的直观图为（如图所示），其中，，则梯形的面积为________.
13．若一个球的体积为，则它的表面积为_________.
14．在正方体中,E,F分别是线段,的中点,则直线,所成角的余弦值为________.
15．已知直四棱柱的棱长均为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为___________.
四、解答题
16．如果直线l与平面所成的角为，且A，B是直线l上两点，线段AB在平面内的射影的长为3，求线段AB的长.
17．如图，在多面体中，面为矩形，，，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)设G为中点，求证：平面.
18．2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委负责人表示，将持续推进“体重管理年”行动，某学校对学生进行体重健康知识测试得到如下频率分布直方图，图中.
(1)求图中a的值并估计得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若有超过60%的人得分在75分及以上，则认为学生知识掌握度整体合格.该校学生知识掌握度整体合格了吗？请说明理由.
19．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若E、F分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
20．如图，在三棱锥中，，且，.
（1）若，证明：平面平面；
（2）若与平面所成的角为，求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：在长方体中，由
可得四边形，为平行四边形，
所以,所以四边形为平行四边形，
所以，
则几何体为三棱柱.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意可知圆锥的侧面积为：
.
故选：C
3．答案：D
解析：由已知，，
又，平面，
所以平面，
所以是PB与平面ABCD所成角，
平面ABCD，则，
由题意，，
所以，
所以，
故选：D.
4．答案：B
解析：如果，且，
那么或.
故选：B
5．答案：B
解析：因为圆台的上、下底面半径分别是1和5,且圆台的母线长为5,
所以该圆台的高为,
则该圆台的体积为.
故选:B.
6．答案：D
解析：由题意得球的半径为,设圆柱底面圆半径为r,
根据圆柱和球的对称性可得,
所以圆柱的表面积.
故选:D
7．答案：C
解析：对于A,若且,则或者m,n异面,或者m,n相交,故A错误,
对于B,若且,则,故B错误,
对于C,若且,则,故C正确,
对于D,若m不垂直于,且,则m有可能与n垂直,例如在正方体中,不垂直平面,平面,但是,理由如下:平面,平面,所以,又,,,平面,所以平面,平面,故,故D错误,
故选:C
8．答案：D
解析：由选项内容可知，ABC选项为立体几何中的基本事实，D选项，
垂直于同一条直线的两条直线可能异面，
可能相交，可能平行，故D不是立体几何中的基本事实.
故选：D
9．答案：AC
解析：根据题意,依次分析选项:
对于A,多面体至少有四个面,比如四面体,A正确;
对于B,棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形,比如三棱柱,B错误;
对于C,棱台的侧面都是梯形,C正确;
对于D,以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周,形成的几何体是圆台,
而以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周,形成的几何体是一个旋转组合体,
D错误.
故选:AC.
10．答案：CD
解析：对于A，若，，
则或n与m异面，所以A错误.
对于B，若，，，，
没有m，n是相交直线这个条件，不能得到，所以B错误.
对于C，由，得存在过直线m的平面与平面相交，
令交线为c，则，而，，
则，，因此，C正确.
对于D，若，，则，
又，所以，D正确.
故选：CD.
11．答案：BC
解析：对于A,若,,则m,n可平行或异面,故A错误;
对于B,若,,则,故B正确;
对于C,若,,故,故C正确;
对于D,,,则m与可平行或相交或,故D错误.
故选:BC.
12．答案：3
解析：根据题意，，
则.
故答案为：3.
13．答案：
解析：
，
14．答案：/
解析：如图所示:
F是线段的中点,连接交于F,
由正方体的性质知,知直线,所成角即为直线,所成角,
故或其补角是直线与所成角.
不妨设正方体边长为2,在直角中,,,.
故.
故答案为:
15．答案：
解析：取的中点O，连接，由题设可知是正三角形，所以，
又是直四棱柱，所以面，从而，故面，
所以点O就是截面圆的圆心，且，
故球心到截面的距离为，因为球的半径，所以截面圆半径，
设该圆与和分别交于P，Q两点，
因为，，所以，，
由对称性可知，所以，
故该球面与侧面的交线长为.
16．答案：
解析：.
17．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）
连接，
四边形为矩形，且，，
，
有，，
，即，
又，且，平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）连接，设，连接，
易知点M为中点，
点G为中点，
，且，
又，，
，且，
则四边形为平行四边形，即，
平面，且平面，
平面.
18．答案：(1)，平均值为79.5；
(2)合格
解析：（1）由图可知组距为10，
易知，结合可得；
平均值为.
（2）由图可知估计该校学生中得分在75分及以上的概率为
，
因此可得该校学生知识掌握度整体合格了.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且F为的中点，所以F为的中点，
又因为E为的中点，则，
平面，平面，平面.
（2）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：如图，取的中点O，连接，.
因为，，故，且，.
又，，则，.
由于，则，即.
由于，平面，，故平面.
又平面，故平面平面.
（2）由于，，且平面，，
故平面.又平面，故平面平面.
设点V在平面上的投影为D.
由于平面平面，且为两平面的交线，
故D在线段上，则与平面所成的角为.
方法一几何法：由于，故为等边三角形，则.
取的中点E，由于，，故，.
故为二面角的平面角.
由于，故.
故，
即二面角的正弦值为.
方法二建系法：如图，以O为原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向，过O作平面的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为.
由于，，.
故取，则；
取，则.
则.
设二面角大小为，故.
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