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2026届高考数学一轮复习专题特训 平面向量及其应用
一、选择题
1．在中,点D满足,则( )
A. B.
C. D.
2．已知平面向量,,若,则( )
A. B. C.3 D.
3．已知向量,,若,则( )
A.2 B. C. D.
4．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则，，则( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
5．在中,满足,则( )
A. B.或 C. D.或
6．若,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知,且,则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是( )
A.60 B. C.30 D.
二、多项选择题
9．已知平面向量，，则( )
A.，，不垂直
B.，使得，共线
C.当时，
D.当时，在方向上的投影向量为
10．已知非零向量，，则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
11．已知向量,,,若,则的值可能为( )
A.2 B. C.3 D.
三、填空题
12．_________________.
13．已知,,,且与垂直,则________.
14．若,则________.
15．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是______写一个即可
四、解答题
16．已知向量,,.
(1)求；
(2)若,求实数k.
17．已知平面向量，满足，，.
(1)求向量，夹角的大小；
(2)求的值；
(3)求向量与夹角的余弦值.
18．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足
(1)求角B的大小；
(2)若,D为AC边上的一点,,且BD是的平分线,求的面积.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.
（1）求证:;
（2）若,,求的面积.
20．在锐角中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小；
(2)若,且的面积为,求的周长.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以.
故选:C.
2．答案：B
解析：因为平面向量,,且,
所以,解得.
故选:B
3．答案：C
解析：依题意,,,由,得,
所以.
故选:C
4．答案：C
解析：在中，由及正弦定理，得，
又，则，显然，所以.
故选：C
5．答案：A
解析：因为,即,
所以,且,所以.
故选:A
6．答案：A
解析：由向量模长的三角不等式可得,当且仅当、的方向相同时,等号成立;
,当且仅当、的方向相反时,等号成立,
因此,的取值范围是,
故选:A.
7．答案：C
解析：因为向量在向量上的投影向量为:,
故选:C.
8．答案：A
解析：由已知得，
得到，
，
所以.
故选：A
9．答案：ABD
解析：因为，
则，
所以，，不垂直，所以选项A正确.
假设，则，所以，
所以当时，，共线，所以选项B正确.
当时，，
所以，
所以，所以选项C错误.
当时，，
所以在方向上的投影向量为.
故选：ABD.
10．答案：AD
解析：对于A，，A正确；
对于B，，无意义，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，由向量数量积运算律可知
，D正确.
故选：AD.
11．答案：AD
解析：因为,所以,解得或2．
故选：AD.
12．答案：
解析：
.
故答案为：.
13．答案：
解析：,
与垂直,
,
.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为,
所以,
所以,所以,
故答案为:.
15．答案：
解析：设
则满足方程的点均可.
故答案为：.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1).
(2),,
,,
解之得：.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）平面向量，满足，，.
所以，
解得，可得向量，夹角的大小为.
（2），
所以.
（3），
因为，由（2）可得，
设向量与的夹角为，所以.
18．答案：(1)；
(2).
解析：(1),
又,,,则,
即,
又,则；
(2)由BD平分得：
则有,即,
在中,由余弦定理可得：
又,则
联立,
可得
解得：（舍去）,
故.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意得:,
由余弦定理得,,
所以,
由于A,,,所以或,
因为,,所以.
（2）由正弦定理可得,即,得,
由余弦定理可得,代入得,
解得舍去）,
所以,故,.
20．答案：(1)；
(2)
解析：由,利用正弦定理得,
因为,所以.
又因为C为锐角,所以.
(2)由,所以,
又,即,
则,即.
又,所以.
所以的周长为.
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