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2026届高考数学一轮复习专题特训 随机变量及其分布
一、选择题
1．设随机变量,且,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．已知在所有男子中有5%患有色盲症,在所有女子中有0.3%患有色盲症,随机抽一人发现患色盲症,其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）( )
A. B. C. D.
3．小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为( )
A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.21
4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向上或向右移动一个单位，则质点移动6次后位于的概率为( )
A. B. C. D.
5．王老师为了了解全班50位同学某次考试的成绩状况,随机抽查了10位同学该次考试的数学与物理成绩,列表如下:
学生 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 平均值 标准差
数学成绩X/分 88 62
物理成绩Y/分 75 63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况,且全班成绩服从正态分布,用实线表示全班数学成绩的正态曲线,虚线表示全班物理成绩的正态曲线,则随机变量X与Y的正态曲线可能是( )
A. B.
C. D.
6．长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有的学生每天玩手机超过,这些人近视率约为,其余学生的近视率约为,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是( )
A. B. C. D.
7．已知随机变量,且,则( )
A.0.7 B.0.3 C.0.2 D.0.1
8．小明和小强两人计划假期到南京游玩,他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”,事件“两人选择的景区不同”,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉，阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量（单位：斤）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示则下列说法正确的是( )
A.乙品种水蜜桃的平均质量
B.甲品种水蜜桃的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲品种水蜜桃的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数
10．已知某工厂甲、乙,丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件,且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检,下列叙述正确的有( )
A.此件产品是次品的概率为0.02
B.此件产品是次品的概率为0.025
C.此件产品是次品的情况下,来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍
D.此件产品是次品的情况下,此件产品来自于丙车间的概率为0.04.
11．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格．某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩Y均服从正态分布，，则下列说法正确的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知随机变量X服从二项分布,则_____________.
13．设随机变量，则X的均值为______.
14．已知随机变量X服从正态分布,且,则______.
15．一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球.从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记X为4次之内(含4次)取到红球的次数，则X的数学期望______.
四、解答题
16．设随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P 0.4 2a a
则__________.
17．某市高二建模数学小组的7名学员中恰有4人来自建华中学,从这7名学员中随机选取2人,表示选取的人中来自建华中学的人数.
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望和方差.
18．某射手每次射击击中目标的概率为,共进行8次射击.求:
（1）恰有3次击中目标的概率;
（2）至少有6次击中目标的概率.
19．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标服从正态分布,则_______________.（精确到0.01）
参考数据：若,则,,.
20．某校五四青年艺术节选拔主持人,现有来自高一年级参赛选手4名,其中男生2名;高二年级参赛选手4名,其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名男生,且这2名男生来自同一个年级”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中男生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案
1．答案：C
解析：由正态分布曲线的性质可知,正态分布密度曲线关于对称,
所以,得.
故选:C
2．答案：C
解析：设事件“男子”,事件“女子”,事件“这个人色盲”,
由题意得,,且,
所以.
故选:C.
3．答案：A
解析：由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为
，
故选：A.
4．答案：D
解析：质点从原点出发，移动6次后位于，
则质点向右移动2次，向上移动4次，
由此质点移动6次后位于的概率为.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为,所以随机变量X的正态曲线的对称轴在随机变量Y的正态曲线的对称轴的左边,排除B,C;
因为,所以随机变量X的总体分布更离散,正态曲线比随机变量Y的正态曲线“矮胖”,排除D,
故选:A.
6．答案：C
解析：某学校学生中,大约有的学生每天玩手机超过,则有的学生每天玩手机不超过,
超过近视率约为,不超过近视率约为,
所以从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是.
故选:C.
7．答案：C
解析：根据正态曲线的对称性可得,
故选:C
8．答案：A
解析：由题意可得,,
所以.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：对于选项A：，故A对；
对于选项B：甲图像相对乙更高瘦，故B对；
对于选项C：，故C对；
对于选项D：乙图像的最高点为1.99，故对称轴取值为，所以，故D错.
故选：ABC.
10．答案：BD
解析：对于AB,该产品是次品的概率为,A错误,B正确；
对于C,此件产品是次品的情况下,来自甲车间的概率,
来自于乙车间的概率,则,C错误；
对于D,此件产品是次品的情况下,来自于丙车间的概率,D正确.
故选：BD.
11．答案：BCD
解析:对于正态分布，方差，则.
已知，这里，那么，而不是30，所以选项A错误.
对于正态分布，期望.
已知，这里，所以，选项B正确.
因为正态分布，则，.
根据正态分布的性质，，，
，即，
那么，选项C正确.
对于，；对于，.
对应的，对应的.
根据正态分布的性质，Z值越大，对应的概率越大，
因为，所以，选项D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为X服从二项分布,
所以.
故答案为：.
13．答案：3
解析：由超几何分布的期望公式，
，
故答案为：3.
14．答案：0.04或
解析：因,所以,
所以.
故答案为:0.04.
15．答案：
解析：由题意可知，
则，,
,，
所以，故填.
16．答案：
解析：由题意可得,解得.
故答案为：.
17．答案：(1)分布列见解析
(2),
解析：(1)的所有可能取值是0,1,2；
,,,
所以的分布列是
0 1 2
P
(2)数学期望是,
方差为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）恰有3次击中目标的概率
（2）至少有6次击中目标的概率
19．答案：
解析：,
.
故答案为：.
20．答案：(1)
(2)分布列见解析,数学期望
解析：(1)由已知有,所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,
所以随机变量X的分布列为
X
P
所以随机变量X的数学期望
.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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