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2026届高考数学一轮复习专题特训 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．若,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
2．若,则的最小值是( )
A. B. C. D.
3．已知集合,,则( )
A. B. C. D.或
4．已知,,,则的最大值为( )
A.1 B. C. D.
5．若关于x的不等式的解集为,则( )
A.或1 B.1 C.或1 D.或或1
6．已知,,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7．已知,,且,则的最小值为( )
A.2 B.8 C.16 D.64
8．设表示a与b的最大值,若x,y都是正数,,则z的最小值为( )
A. B.3 C.8 D.9
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.不等式恒成立
B.若a,,则
C.若a,,满足,则
D.存在,使得成立
10．设正实数,满足,则下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.的最小值为1
C.的最大值为4 D.的最小值为2
11．下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,,则 D.若,,则
三、填空题
12．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金,售货员先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是______________.（填“”、“”、“”、“”、“”）．
13．若关于x的不等式的解集为R,则实数a的取值范围是______________．
14．设,,则的最小值为____________．
15．已知,则的最小值为___________.
四、解答题
16．(1)已知,求的最小值；
(2)已知,求的最大值；
17．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐,并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株,尽管我国疫情得到了很好的遏制,但由于整个国际环境的影响,时而也会出现一些散发病例,故而抗疫形势依然严峻,日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中,医用防护用品必不可少,某公司一年购买某种医用防护用品600吨,每次都购买x吨,运费为6万元/次,一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.
(1)要使总费用不超过公司年预算260万元,求x的取值范围.
(2)要使总费用最小,求x的值.
18．比较下列各组中两式的大小：
(1)设,,比较M,N大小；
(2)当时,比较与值的大小．
19．某公司建造一间背面靠墙的房屋,地面面积为,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,屋顶的造价为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低 最低总造价是多少
20．已知二次函数.
(1)若关于x的不等式的解集是,求实数a,b的值；
(2)若,,解关于x的不等式.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以,D正确;
当时,满足,但是,A,C不正确;
当时,满足,但是,B不正确;
故选:D
2．答案：B
解析：由,可得,
,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为,
故选:B.
3．答案：B
解析：因为,,
所以,
故选：B.
4．答案：D
解析：利用基本不等式可知
因为,所以,当且仅当时等号成立；
所以的最大值为.
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意知方程的实数根为和5,
代入得,解得.
故选：B.
6．答案：B
解析：因为,不等式两边同时乘以,所以.
已知,,两个不等式相加,得到.
故选：B.
7．答案：D
解析：,当且仅当,即,时等号成立,
,即,即最小值为.
故选：D.
8．答案：B
解析：由,得,,
于是,当且仅当,即时取等号,
所以z的最小值为3.
故选：B
9．答案：BCD
解析：A选项：当,时,,,所以不成立,故A选项错误；
B选项：a,,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故B选项正确；
C选项：a,,由,得,
当且仅当,即时等号成立,故C选项正确；
D选项：当时,,所以存在,使得成立,D选项正确；
故选：BCD.
10．答案：AD
解析：对于A,因为,,
所以
,
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为2,故A正确;
对于B,,当且仅当时等号成立,
所以的最大值为1,故B错误;
对于C,,当且仅当时等号成立,
所以,即的最大值为2,故C错误;
对于D,,当且仅当时等号成立,
所以的最小值为2,故D正确.
故选:AD.
11．答案：BD
解析：对于A,令,,满足,此时,故A不正确；
对于B,因为指数函数在R上单调递增,且,所以,故B正确；
对于C,令,,,,满足,,
此时,不满足,故C不正确；
对于D,因为,,所以,,
所以,
所以,故D正确．
故选：BD．
12．答案：
解析：由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a,右臂长为b,则,
再设先称得黄金为,后称得黄金为,则,,
,,
,
当且仅当,即时等号成立,但,等号不成立,即.
因此,顾客购得的黄金大于.
故答案为：.
13．答案：
解析：关于x的不等式的解集为R.
当时,原不等式为,该不等式在R上恒成立；
当时,则有,解得.
综上所述,实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：4
解析：易知,
当且仅当,即,时取得最小值.
故答案为：4.
15．答案：8
解析：由,可得,可得,
当且仅当,即时,等号成立,
又由,当且仅当,即时,等号成立,
综上所述,当时,取得最小值.
故答案为:8.
16．答案：(1)9
(2)3
解析：(1)由,则,
当且仅当时等号成立,故目标式最小值为9.
(2)由,则,
当且仅当时等号成立,故目标式最大值为3.
17．答案：(1)
(2)30
解析：(1)因为公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,
所以购买货物的次数为,
故,
化简得,解得,
所以x的取值范围为.
(2)由(1)可知,,
因为,当且仅当即时等号成立,
所以当时,一年的总费用最小,
故x的值为30.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1),
则.
(2),
则
19．答案：当房屋的正面边长为8m,侧面边长为6m时,房屋总造价最低,为63400元.
解析：设房屋的正面边长为xm,侧面边长为ym,总造价为z元,则,即,
.
当时,即当时,z有最小值,最低总造价为63400元.
答:当房屋的正面边长为8m,侧面边长为6m时,房屋总造价最低,为63400元.
20．答案：(1),
(2)答案见解析.
解析：(1)由不等式的解集是,
则,2是一元二次方程的两个实数根,且,
则,解得,.
所以,.
(2)当,,则,
当时,则,则,故不等式的解集为
当时,则,
故当时,即,则不等式的解集为或,
当时,即,则不等式的解集为,
当时,即,则不等式的解集为或.
综上所述,当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为或,
当时,则不等式的解集为,
当时,则不等式的解集为或.
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