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2026届高考数学一轮复习专题特训 圆锥曲线的方程
一、选择题
1．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为4，则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
2．已知点F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则P点的横坐标为( )
A. B.2 C. D.3
3．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段
4．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线上任意一点，当取最小值时，点A的坐标为( )
A. B. C. D.
5．设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为( )
A. B.2 C. D.4
6．已知F为抛物线的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若弦的中点的横坐标为4，则( )
A.8 B.10 C.12 D.16
7．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且.则的面积为( )
A.6 B. C.8 D.
8．设O为坐标原点，直线与双曲线，的两条渐近线分别交于D，E两点，若的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
二、多项选择题
9．已知椭圆的焦距是,则m的值可能是( )
A. B.13 C. D.19
10．对抛物线,下列描述正确的是( )
A.开口向左,焦点为 B.开口向左,准线方程为
C.开口向下,准线方程为 D.开口向下,焦点为
11．已知点P是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则的值( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．抛物线的定义：设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为__________，其中定点F称为抛物线的__________，定直线l称为抛物线的__________.
13．设椭圆与双曲线的离心率分别为,,双曲线的渐近线的斜率小于,则的取值范围为______,的取值范围为______.
14．设椭圆的左右焦点为，，椭圆上点P满足，则的面积为_______.
15．已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是__________.
四、解答题
16．已知直线,椭圆.试问当m取何值时,直线l与椭圆C.
(1)有两个不重合的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
17．已知椭圆的左顶点为A，焦距为，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心.
(i)若为等边三角形，求点P的坐标；
(ii)若点P在直线上，求点A到直线l的距离的取值范围.
18．已知双曲线的右焦点为F，点在C上，且轴.
(1)求C的方程；
(2)过F且斜率大于0的直线l与C的右支交于P，Q两点，若，求l的一般方程.
19．已知双曲线的虚轴长为2,且离心率为.
（1）求C的方程和焦点坐标;
（2）设C的右焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,若中点的横坐标为3,求.
20．已知曲线C上任意一点M满足,且,.
(1)求C的方程.
(2)设,,若过的直线与C交于P,Q两点,且直线AP与BQ交于点R.证明：点R在定直线上.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，设抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义知，，解得，故抛物线的方程为.
故选：C.
2．答案：C
解析：抛物线C的方程为，
，可得，
设，由抛物线的定义得，
所以，
故选：C.
3．答案：D
解析：因为，所以，
当且仅当时等号成立，
当时，，
而，此时点P的轨迹是线段；
当时，，
此时点P的轨迹是以、为焦点的椭圆．
综上所述，点P的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.
故选：D.
4．答案：D
解析：抛物线的焦点为，准线为，
设点A在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当B，A，D三点共线时取得最小值，
此时A点的横坐标为1，
则，解得，即.
故选：D.
5．答案：C
解析：双曲线（，）的渐近线方程为，
即.
，分别为C的两条渐近线的倾斜角，
.
又，，
，.
又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，
，，，
双曲线C的焦距为.
故选：C
6．答案：C
解析：设，
则，所以，
由抛物线的焦点弦公式可得.
故选：C.
7．答案：B
解析：由椭圆的方程可得，
所以，得，
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
8．答案：B
解析：由题意，双曲线C的焦距，
联立解得：，所以，
，由题意，，所以，
由①可得，
当且仅当时取等号，所以焦距的最小值为8.
9．答案：BD
解析：由题知或,
解得或.
故选：BD.
10．答案：CD
解析：抛物线的标准方程为,则,可得,
所以,该抛物线的焦点坐标为,准线方程为,其开口向下,
故选：CD.
11．答案：B
解析：设的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得，，
，，，
因为，即，
可得.
故选：B
12．答案：抛物线；焦点；准线
解析：
13．答案：;
解析：设椭圆和双曲线的焦距分别为,,由题意,得双曲线的渐近线方程为,所以,则,
所以,.
故答案为:;
14．答案：12
解析：由椭圆定义可得，
则有，即，，
又，
由，故，
故.
故答案为：12.
15．答案：
解析：由题意，，，记右焦点为，中点为Q，因为O是的中点，所以，
，
又，所以，
故，
即直线的斜率为.
16．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)联立消去y得,,
,
若直线l与椭圆C有两个不重合的公共点,则,
解得,
即直线l与椭圆C有两个不重合的公共点时,m的取值范围为.
(2)若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
则,解得,
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点时,的值为.
(3)若直线l与椭圆C没有公共点,
则,解得,
即直线l与椭圆C没有公共点时,m的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)(i)
(ii)
解析：(1)因为椭圆的焦距为，
又因为离心率为，所以，
由得，
所以椭圆C的方程为；
(2)(i)因为为等边三角形，所以，
由对称性可知M，N关于x轴对称，
可设直线l的方程为：，
当时，，
所以点，点，
，
因为，
所以，
化简整理有：，
解得或-2（舍去），
又因为点P为的外心，即为的重心，
设，则有，所以；
(ii)当直线l的斜率为0时，
线段的中垂线为y轴，不满足题意.
设直线l的方程为：，
则有：，
所以，
设，
则有：，
设E、F为线段，的中点，
则，，
可得线段的中垂线方程为，
即①，
同理可得线段的中垂线方程为②，
联立①②解得
，
由，
可得，
即，代入不等式，
解得且，
则，
所以点A到直线l的距离为，
设函数，
，则在为减函数，
在为增函数，可得，进而得.
综上，点A到直线l的距离的取值范围为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为点在C上，所以，
又F为C的右焦点，轴，
则，故，
所以，
因此C的方程为.
(2)设直线l的方程为，，
因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点，
所以，即，
故，联立方程，
消去得，
则，，，
所以
，
解得，即，
故直线l的方程为.
19．答案：（1）方程为,左、右焦点坐标分别为,
（2）
解析：（1）因为C的离心率为,又C的虚轴长为2,所以,
又,
联立解得,,
所以C的方程为,左、右焦点坐标分别为,.
（2）由（1）知,
根据题意易得过F的直线斜率存在,
设的直线方程为,,,如下图所示:
联立,化简得,
所以,,
因为中点横坐标为3,所以,
解得,所以,
则,
则.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由于,符合双曲线中一支的定义,
于是,,即,,故.
又因为,且焦点在x轴上,
所以曲线C的方程为.
(2)证明：若过的直线与C交于P,Q两点,
则该直线的斜率不会是0,否则和该曲线只有一个交点.
当该直线的方程为时,不妨设,,
则直线AP的方程为,直线BQ的方程为,
两方程联立得则.
设该直线的方程为,和曲线C的方程联立可得,
则,,.
设,,则直线AP的方程为,直线BQ的方程为,
联立直线AP,BQ的方程消去y可得,
整理可得,则.
因为点P,Q在直线上,
所以
,
故,即,故交点R在定直线上.
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