资源简介

(共23张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
数学人教A版 选择性必修 第二册
创设情境 引入课题
1
问题1 跳水运动员的速度
探究
在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系
如何描述运动员从起跳到入水过程中的快慢程度呢？
我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度 近似地描述他的运动状态.
创设情境 引入课题
1
问题1 跳水运动员的速度
思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？
思考2 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度.
创设情境 引入课题
1
问题1 跳水运动员的速度
思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？
思考3 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？
特 殊
一 般
创设情境 引入课题
1
思考4 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
平均速度不能准确刻画运动员的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
问题1 跳水运动员的速度
抽象概念 内涵辨析
2
瞬时速度：
物体在某一时刻的速度.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
探究：
瞬时速度与平均速度有什么关系？
你能利用这种关系求运动员在 时的瞬时速度吗？
抽象概念 内涵辨析
2
为了求运动员在 时的瞬时速度，我们在 之后或之前，任取一个时刻 ， 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
问题1 跳水运动员的速度
抽象概念 内涵辨析
2
问题1 跳水运动员的速度
思考 你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？
用有限个计算结果，不能断定平均速度是否永远具有这种特征.
抽象概念 内涵辨析
2
问题1 跳水运动员的速度
抽象概念 内涵辨析
2
数 值
解 析 式
均速度
瞬时速度
体会
极限思想
微积分思想
运动
变化
数学文化 渊源流长
刘辉“割圆术”：
割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，
则与圆合体而无所失矣.
数
学
文
化
博
大
精
深
多边形
逼近
圆
抽象概念 内涵辨析
2
思考5 你能用上述方法计算 时的瞬时速度吗？
思考6 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 的瞬时速度？
一 差
二 比
三极限
特 殊
一 般
问题1 跳水运动员的速度
如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢
追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？
追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？
不一定
因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了.
不一定
x
y
O
f(x)＝sinx
－1
1
问题2 抛物线的切线的斜率
思考7：如何定义抛物线 f (x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线？
x
y
O
f(x)＝x2
1
1
2
2
3
4
P0
与研究瞬时速度类似
在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)
考察抛物线f(x)＝x2的割线P0P的变化情况
问题2 抛物线的切线的斜率
我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置.
这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．
观察 如图，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势
T
无限趋近于一个确定的
无限趋近于点P0时
问题2 抛物线的切线的斜率
思考8：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢
由切线定义知，
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P

P0

T

割线P0P的斜率为
切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.
记 x＝x－1 ，
P(1+ x, (1+ x)2)，
割线位置
切线位置
无限逼近
割线斜率
切线斜率
无限逼近
取极限
注： x可以是正值，也可以是负值，但不为0.
让横坐标变化量 Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况.
问题2 抛物线的切线的斜率
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔| x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：
x <0 x >0 x x
观察：利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当 x无限趋近于0时，割线P0P的斜率k有什么变化趋势？
发现：当 x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
当点P无限靠近点P0，即 x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，
因此切线P0T的斜率为
x无限趋近于0
无限趋近于2
切线的斜率：
问题2 抛物线的切线的斜率
思考9 观察问题1中的函数 的图象，平均速度
的几何意义是什么 瞬时速度v(1)呢
P0
P
T
h(t)在t=1处的导数-5
是h关于t的瞬时变化率（物理意义）
是h在点(1,h(1))处的切线斜率（几何意义）
小结提升 形成结构
3
1.本节课研究的数学问题是什么？
2.我们是如何
得到它的？
4.求某一时刻的瞬时速度的步骤是什么？
瞬时速度和极限思想
具体问题
平均速度
求极限
由特殊到一般
极限思想
一 差
二 比
三极限
类比
切线的斜率和极限思想
3.它的用途是什么？
平均速度
瞬时速度
感谢聆听

展开更多......

收起↑