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2026届高考数学一轮复习专题特训 直线和圆的方程
一、选择题
1．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径r的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知圆的圆心在,半径为5,则它的方程为( )
A. B.
C. D.
3．如果且,那么直线不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知直线,.若,则实数( )
A.或 B. C. D.与
5．下列方程中表示圆心在直线上,半径为,且过原点的圆的是( )
A. B.
C. D.
6．直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7．直线和圆的位置关系为( )
A.相交 B.相离 C.相切 D.相交且过圆心
8．已知曲线和直线有且仅有一个公共点,则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.不存在
二、多项选择题
9．已知点在圆的外部,则m的值可能为( )
A.0 B.4 C.2 D.
10．过点且与圆相切的直线方程为( )
A. B. C. D.
11．已知圆，圆，则下列结论正确的是( )
A.若和外离，则或
B.若和外切，则
C.当时，和内含
D.当时，有且仅有一条直线与和均相切
三、填空题
12．过、两点的直线的斜率为__________.
13．若圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为___________.
14．过点,且圆心在直线上的圆的一般方程为________.
15．已知圆和圆，则这两个圆的位置关系为__________.
四、解答题
16．已知坐标原点不在圆的内部，求实数a的取值范围.
17．在平面直角坐标系中，点P的坐标满足（为参数），
(1)求点P的轨迹的方程；
(2)求曲线与曲线公共弦的长.
18．求下列各点关于直线对称的点的坐标：，，，.
19．已知圆与圆相交，求交点所在直线的方程.
20．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点.
（1）若的面积等于3，求k的值；
（2）记直线CD的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知条件得的圆心坐标为，
圆心到直线
为，
∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，
∴圆的半径的取值范围是，
即，即半径r的取值范围是.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为圆心为,半径为5,
所以圆的标准方程为,
故选：C.
3．答案：C
解析：由且,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C也是异号;
令,得;令,得;
所以直线不经过第三象限.
故选:C
4．答案：C
解析：,,解得:或.
当时,直线,直线,两直线重合;
当时,经检验,满足题意;
综上,.
故选:C
5．答案：D
解析：因为圆心在上,所以设圆心为,
因为圆半径为,
所以设圆的标准方程为,
因为该圆过原点,
所以,
解得,
所以圆心为或,
当圆心为时,圆的标准方程为,D对;
当圆心为时,圆的标准方程为.
故选:D.
6．答案：C
解析：因为直线可化为，
所以其斜率为（为其倾斜角），
因为，所以.
故选：C.
7．答案：A
解析：的圆心和半径分别为,,
则圆心到直线的距离为,
故直线与圆相交但不经过圆心,
故选：A.
8．答案：C
解析：易知,直线l过定点 ,曲线C表示圆心为 ,
半径为2的上半圆,定点在半圆所在的圆外.
解法一：由C与l有且仅有一个公共点时,l与半圆C相切,此时圆心到直线l的距离 ,解得,由图知,
故选：C.
解法二：当C和l有且仅有一个公共点时,k存在,且,结合选项,
故选：C.
9．答案：ABD
解析：化为,
所以圆心,半径,
在圆的外部,
所以,解得或,
综上所述,的取值范围是.
因为,0,,
故选:ABD.
10．答案：AB
解析：由题意知,圆的圆心,半径,
当斜率不存在时,过点,则直线,
圆心到此直线的距离等于半径1,满足题意;
当斜率存在时,设斜率为k,过点,则直线方程为,
由直线与圆相切,所以圆心到此直线的距离等于半径1,
得,解得,故切线方程为.
故选：AB.
11．答案：BD
解析：由题知，，，，.
对于A，若和外离，则，
解得或，故A错误；
对于B，若和外切，则，解得，
故B正确；
对于C，当时，，
则和相交，故C错误；
对于D，当时，，则和内切，
有且只有一条公切线，故D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：由已知可得.
故答案为：.
13．答案：
解析：由已知得，半径，，半径.因为，两圆没有公共点，所以或，即或，所以或，即或或.所以实数a的取值范围为.
14．答案：
解析：设圆的一般方程为,则圆心为,
依题意得,解得,
所以圆的一般方程为.
故答案为:
15．答案：内含
解析：因为圆，
圆，
所以圆心距，
而两圆半径之差，故两个圆内含.
故答案为：内含.
16．答案：
解析：不在圆的内部，
将代入圆的方程，得，.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由，
得，
两式平方再相加得.
(2)曲线和曲线
的方程作差得：，
将代入曲线中得，
所以两个交点分别为：，
所以公共弦长为
18．答案：，，，
解析：若两个点关于对称，则他们横纵坐标互换即可，
所以A，B，C，D关于对称的点的坐标分别为，，，.
19．答案：
解析：圆的圆心，半径，
圆圆心，半径，
显然，即圆与圆相交，
设它们的交点坐标为，，
由，得，同理，
显然点，都满足方程，
所以两圆交点所在直线的方程为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析；为定值，且定值为2
解析：（1）设，.
由得，，
所以，，
，解得（舍去）.
（2）证明：已知，设，
则，.
因为A，F，C共线，
所以，
即，
解得（舍去）或，
所以，同理，
所以，故，
所以为定值，且定值为2.
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