资源简介

(共77张PPT)
5.2.3简单复合函数的导数
基本初等函数的导数公式：
复习回顾
导数的四则运算法则
导数的加、减运算法则
导数的乘法运算法则
导数的除法运算法则
复习回顾
1.求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.
函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.
下面，先分析这个函数的结构特点.
若设 ，则
从而 可以看成是由 和 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数.
新知讲解
对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作
例.函数 由 和 复合而成
函数 由 和 复合而成
1.复合函数
是
不是
不是
是
不是
是
是
不是
练习
(多选)下列哪些函数是复合函数
A.y=xln x B.y=(3x+6)2
C.y=esin x D.y=sin
例 1
A不是复合函数；
BCD都是复合函数.
√
√
√
反
思
感
悟
若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y=f(g(x))或函数y=g(f(x))均为复合函数.
(多选)下列哪些函数是复合函数
A.y=log2(2x+1) B.y=2x2-
C.y=2ln x D.y=cos
跟踪训练 1
√
√
√
新知讲解
如何求复合函数的导数呢？
先来研究 的导数.
以 表示 y 对 x 的导数，以 表示 y 对 u 的导数，
以 表示 u 对 x 的导数.
一方面，
另一方面，
，
可以发现，
复合函数求导步骤:分解—求导—相乘—回代.
法则：
一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx'=yu'·ux‘.
2.复合函数的求导法则
例6 求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
解：
（1）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（2）函数 可以看作函数 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
求下列函数的导数：
(1)y=；
例 2
令u=1-3x，则y==u-4，
所以y'u=-4u-5，u'x=-3.
所以y'x=y'u·u'x=12u-5=.
(2)y=cos x2；
令u=x2，则y=cos u，
所以y'x=y'u·u'x=-sin u·2x=-2xsin x2.
(3)y=log2(2x+1)；
设y=log2u，u=2x+1，
则y'x=y'u·u'x==.
(4)y=e3x+2.
设y=eu，u=3x+2，
则y'x=(eu)'·(3x+2)'=3eu=3e3x+2.
巩固2：抽象复合函数的导数
巩固：复合函数的导数（7班）
反
思
感
悟
(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.
求下列函数的导数：
(1)y=；
跟踪训练 2
y=(1-2x，
设y=，u=1-2x，
则y'x=()'(1-2x)'=·(-2)
=(1-2x.
(2)y=5log2(1-x)；
函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数，
所以y'x=y'u·u'x=5(log2u)'·(1-x)'
==.
(3)y=sin.
设y=sin u，u=2x+，
则y'x=(sin u)''
=cos u·2=2cos.
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：s）的函数满足关系式 .
求函数y在t=3 s 时的导数，并解释它的实际意义.
解：
函数可以看作函数 和 的复合函数.根据复合函数的求导法则，有
当 t=3 时，
它表示当t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s .
课本练习P81
课后练习
课本练习P81
2. 求下列函数在给定点处的导数:
解：
课后练习
课本练习P81
课后练习
3、
解：
课本练习P81
课后练习
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)).
2. 复合函数的导数法则：
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数
y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的
关系为
1. 复合函数：
3.简单复合函数求导的一般步骤为
“分解——求导——相乘——回代”.
课后总结
某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t=18时的导数，并解释它的实际意义.
例 3
设f(x)=3sin x，x=φ(t)=t+，
所以s'(t)=f'(x)φ'(t)=3cos x·
=cos，
将t=18代入s'(t)，
得s'(18)=cos =(m/h).
s'(18)表示当t=18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
反
思
感
悟
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设f(x)=，则f'(x)=　　　，其在点(0，1)处的切线方程为　　　.
跟踪训练 3
∵f(x)=，故f'(x)=(x2)'=2x，则f'(0)=0.故曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为y=1.
2x
y=1
1.知识清单：
(1)复合函数的概念.
(2)复合函数的求导法则.
(3)复合函数的导数的应用.
2.方法归纳：转化法、代入(代换)法.
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是
A.y=un，u=x2-1 B.y=(u-1)n，u=x2
C.y=tn，t=(x2-1)n D. t=x2-1， y=tn
√
√
2.函数y=(2 025-8x)3的导数y'等于
A.3(2 025-8x)2 B.-24x
C.-24(2 025-8x)2 D.24(2 025-8x)2
1
2
3
4
y'=3(2 025-8x)2×(2 025-8x)'
=3(2 025-8x)2×(-8)=-24(2 025-8x)2.
√
3.设f(x)=ln(3x+2)-3x2，则f'(0)等于
A.1 B.
C.-1 D.-2
1
2
3
4
f'(x)=-6x，故f'(0)=-0=.
√
4.设曲线y=eax在点(0，1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=　　.
1
2
3
4
2
易知y'=aeax，y'|x=0=ae0=a，
故a×=-1，则a=2.
课时对点练
五
基础巩固
1.(多选)下列函数是复合函数的是
A.y=-x3-+1 B.y=cos
C.y= D.y=(2x+3)4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y=cos u，u=x+复合而成；
C由y=，u=ln x复合而成；
D由y=u4，u=2x+3复合而成.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.设f(x)=log3(x-1)，则f'(2)等于
A.ln 3 B.-ln 3
C. D.-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
f'(x)=，故f'(2)=.
√
3.函数y=(ex+)的导数是
A.(ex-e-x) B.(ex+e-x)
C.ex-e-x D.ex+e-x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
y'='=[(ex)'+(e-x)']=(ex-e-x).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.函数y=x(1-ax)2(a>0)，且y'|x=2=5，则a等于
A.1 B.2
C.3 D.4
y'=(1-ax)2-2ax(1-ax)，则y'|x=2=12a2-8a+1=5(a>0)，解得a=1(舍负).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.放射性元素由于放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)=M0×，其中M0为t=0时铯137的含量.已知当t=30时，铯137含量的变化率是-10ln 2(单位：太贝克/年)，则当t=60时，铯137的含量为
A.5太贝克 B.75ln 2太贝克
C.150ln 2太贝克 D.150太贝克
√
因为M'(t)=-ln 2×M0×，所以M'(30)=-ln 2×M0×=-10ln 2，解得M0=600，所以M(t)=600×，所以当t=60时，铯137的含量为600×=600×=150(太贝克).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)下列结论中不正确的是
A.若y=cos ，则y'=-sin
B.若y=sin x2，则y'=2xcos x2
C.若y=cos 5x，则y'=-sin 5x
D.若y=xsin 2x，则y'=xsin 2x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
对于A，y=cos ，则y'=sin ，故错误；
对于B，y=sin x2，则y'=2xcos x2，故正确；
对于C，y=cos 5x，则y'=-5sin 5x，故错误；
对于D，y=xsin 2x，则y'=sin 2x+xcos 2x，故错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.质点M按规律s(t)=(2t+1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t=2时的瞬时速度为　　m/s.
∵s(t)=(2t+1)2，
∴s'(t)=2(2t+1)×2=8t+4，
则质点在t=2时的瞬时速度为s'(2)=8×2+4=20(m/s).
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为　　.
2
设直线y=x+1切曲线y=ln(x+a)于点(x0，y0)，则y0=1+x0，y0=ln(x0+a)，
又曲线的导数为y'=，
∴y'==1，即x0+a=1.
又y0=ln(x0+a)，∴y0=0，
∴x0=-1，∴a=2.
9.求下列函数的导数：
(1)y=ln(ex+x2)；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令u=ex+x2，则y=ln u.
∴y'x=y'u·u'x=·(ex+x2)'
=·(ex+2x)=.
(2)y=102x+3；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令u=2x+3，则y=10u，
∴y'x=y'u·u'x=10u·ln 10·(2x+3)'=2×102x+3ln 10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)y=sin4x+cos4x；
∵y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2x·cos2x=1-sin22x=1-(1-cos 4x)
=+cos 4x.
∴y'=-sin 4x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(4)y=；
设y=，u=1-x2，则y'x='(1-x2)'
=-·(-2x)=x(1-x2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(5)y=sin 2xcos 3x；
∵y=sin 2xcos 3x，
∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'
=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(6)y=x3.
y'=(x3)'+x3()'=3x2+x3·(cos x)'=3x2-x3sin x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.曲线y=esin x在点(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵y=esin x，∴y'=esin xcos x，
∴y'|x=0=1.
∴曲线y=esin x在点(0，1)处的切线方程为
y-1=x，即x-y+1=0.
又直线l与x-y+1=0平行，
故直线l可设为x-y+m=0(m≠1).
由=得m=-1或m=3.
∴直线l的方程为x-y-1=0或x-y+3=0.
11.曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
A. B.
C. D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
依题意得
y'=e-2x·(-2)=-2e-2x，
y'|x=0=-2e-2×0=-2.
所以曲线y=e-2x+1在点(0，2)处的切线方程是y-2=-2x，
即y=-2x+2.在平面直角坐标系中作出直线y=-2x+2，y=0与y=x的图象，如图所示.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是，
直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1，0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为
×1×=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是
A. B.2
C.3 D.0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设曲线y=ln(2x-1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
∵y'=，
∴y'==2，解得x0=1，
∴y0=ln(2-1)=0，即切点坐标为(1，0).
∴切点(1，0)到直线2x-y+3=0的距离为d==，
即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.(多选)已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是
A. B.
C. D.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为y=，
所以y'===.
因为ex>0，所以ex+≥2(当且仅当x=0时取等号)，
所以y'∈[-1，0)，所以tan α∈[-1，0).
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
14.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π)，若f(x)+f'(x)是奇函数，则φ=　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵f'(x)=-sin(x+φ)，
∴f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)，
令g(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)，
∵其为奇函数，∴g(0)=0，
即cos φ-sin φ=0，
∴tan φ=，又0<φ<π，∴φ=.
15.(2024·新课标全国Ⅰ)(5分)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ln 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由y=ex+x得y'=ex+1，
当x=0时，y'=e0+1=2，
故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为y=2x+1.
由y=ln(x+1)+a得y'=，
设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)，
由两曲线有公切线得y'==2，
解得x0=-，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
切线方程为y=2+a-ln 2=2x+1+a-ln 2，
根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.(1)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法一　f'(x)=2f'(2-x)(2-x)'-2x+8=-2f'(2-x)-2x+8，
则f'(1)=-2f'(1)-2+8，得f'(1)=2.
又f(1)=2f(1)-1+8-8，得f(1)=1，
故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.
方法二　∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8， ①
∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. ②
把②代入①得f(x)=x2，
∴f(1)=1，f'(x)=2x，
∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=2，
故所求切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)已知曲线y=cos在点处的切线斜率为k，若|k|<1，求ω的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵曲线y=cos，
∴cos=0，
∴ω·+=nπ+(n∈Z)，
∴ω=2n+(n∈Z)，
又y'=-ωsin，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴k= =-sin
=-sin=±，n∈Z.
∵|k|<1，∴<1，∴n=0，即ω=.
<<<
第五章

展开更多......

收起↑