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导数
函数的单调性与导数的关系
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
y = x
y = x2
y = x3
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.
一、函数的单调性与其导函数的关系
R上为增函数
(－∞,0)上为减函数
(0,+∞)上为增函数
R上为增函数
(－∞,0)上为减函数
(0,+∞)上为减函数
O
y
x
如图，导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率．
在x＝x0处，f (x0)＞0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；
在x＝x1处，f (x1)＜0，切线是
“左上右下”式的，这时，函数
f(x)在x1附近单调递减．
一、函数的单调性与其导函数的关系
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在区间(a, b)内，如果f' (x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；
即：在定义域内，使得f′(x)>0的区间即为函数f(x)的增区间；
在区间(a, b)内，如果f'(x) <0，那么函数y=f (x)在这个区间内单调递减.
即：在定义域内，使得f′(x)<0的区间即为函数f(x)的减区间；
注意：（1）“ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。
（2）如果在某个区间内恒有f' (x)=0，那么函数为常数函数。
一、函数的单调性与其导函数的关系
例1.求函数y=3x2－3x 的单调区间。
例2.求函数y=3x3－3x2 的单调区间。
一、函数的单调性与其导函数的关系
一、函数的单调性与其导函数的关系
小结：求函数y＝f(x)单调区间的步骤：
第一步：确定函数y＝f(x)的定义域；
第二步：准确求出导数y ＝f (x) ；
第三步：在定义域内解不等式f (x)＞0 ，f (x)＜0 ，
第四步：下结论．
一、函数的单调性与其导函数的关系
小结：准确求出导函数的四个小意识：
①导数求两遍；
②通分；
③分解因式；
④标定义域。
一、函数的单调性与其导函数的关系
一、函数的单调性与其导函数的关系
二、函数的单调性与导数题型分析
题型1：原函数与其导函数图像间的关系
原函数在某区间上的单调性决定导函数在该区间的正负；
导函数在某区间上的正负决定原函数在该某区间单调性；
简记为：原函数看单调，导函数看正负。
A
二、函数的单调性与导数题型分析
题型1：原函数与其导函数图像间的关系
B
二、函数的单调性与导数题型分析
题型1：原函数与其导函数图像间的关系
D
二、函数的单调性与导数题型分析
题型1：原函数与其导函数图像间的关系
BCD
二、函数的单调性与导数题型分析
题型1：原函数与其导函数图像间的关系
二、函数的单调性与导数题型分析
题型1：原函数与其导函数图像间的关系
A
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0在函
数f(x)的定义域内的解区间.
注意：(1)求单调区间应遵循定义域优先的原则.
(2)若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.
二、函数的单调性与导数题型分析
D
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
B
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
A
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
D
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
A
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
A
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
C
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
A
题型2：已知函数的表达式求函数的单调区间
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型1：“一元一次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型1：“一元一次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型1：“一元一次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型1：“一元一次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型1：“一元一次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型2：“平方加常数”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型2：“平方加常数”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型2：“平方加常数”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型2：“平方加常数”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型2：“平方加常数”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型2：“平方加常数”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型3：“一元二次”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型4：“值域”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型4：“值域”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型4：“值域”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型4：“值域”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型4：“值域”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
类型4：“值域”型函数的讨论
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
小结：含有待定字母的函数单调性的讨论问题的思维顺序
1.首先考察能否分解因式；
2.充分利用定义域判断各个因式的正负；
3.若不能分解因式，则通过配方把导函数转化为平方加常数的形式，
或强提公因式把导函数转化为g(x)(h(x)+k(a))的形式；
4.分步讨论时，先从容易的入手;
5.讨论完整，不重不漏.
二、函数的单调性与导数题型分析
题型3：含有待定字母的函数单调性的讨论
注意：
1.含参函数的单调性，本质上是通过确定导数的正负达到确定函数单
调性的目的；
2.讨论的数学思想方法是高考的热点和难点，同学们务必引起重视。
3.讨论时，导函数的适当变形是解决该类问题的难点，找准讨论的依
据是该类问题的关键；
4.观察导函数是否过定点，若导函数过定点会减小很多运算量；
5.不重不漏，即各步骤中参数的范围之交是空集，各步骤中参数的范
围之并是题干中参数的范围；
6.一定要下结论，利于阅卷老师给分。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
求法：函数f(x)不是常函数，
则函数f(x)在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上为增函数
f ′(x)≥0在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上恒成立；
函数f(x)在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上为减函数
f ′(x)≤0在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上恒成立；
注意：1.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减
区间为(a，b)”的区别.
二、函数的单调性与导数题型分析
注意：2.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数
的充分不必要条件.
注意：3.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：
对 x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)，且f ′(x)在(a，b)的任何子
区间内都不恒为零.
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
D
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
C
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型4.已知函数的单调区间，求函数表达式中待定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型5：已知函数在某区间上不是单调函数，求函数表达式中待定字母
的范围。
求法：导函数在该区间上有异号零点。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型5：已知函数在某区间上不是单调函数，求函数表达式中待定字母
的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型5：已知函数在某区间上不是单调函数，求函数表达式中待定字母
的范围。
D
二、函数的单调性与导数题型分析
题型5：已知函数在某区间上不是单调函数，求函数表达式中待定字母
的范围。
D
二、函数的单调性与导数题型分析
题型5：已知函数在某区间上不是单调函数，求函数表达式中待定字母
的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型5：已知函数在某区间上不是单调函数，求函数表达式中待定字母
的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型6:已知函数在某区间上存在增区间（减区间），求函数表达式中待
定字母的范围。
求法：函数f(x)在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上存在单调增区间
f ′(x)>0在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上有解；
函数f(x)在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上存在单调减区间
f ′(x)<0在区间(m,n)(或[m,n)，(m,n]，[m,n])上有解；
A
二、函数的单调性与导数题型分析
题型6:已知函数在某区间上存在增区间（减区间），求函数表达式中待
定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型6:已知函数在某区间上存在增区间（减区间），求函数表达式中待
定字母的范围。
B
二、函数的单调性与导数题型分析
题型6:已知函数在某区间上存在增区间（减区间），求函数表达式中待
定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型6:已知函数在某区间上存在增区间（减区间），求函数表达式中待
定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型6:已知函数在某区间上存在增区间（减区间），求函数表达式中待
定字母的范围。
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型1：加、减法则逆向变形应用
(1)出现f ′(x)＋naxn－1的不等关系，构造函数F(x)＝f(x)＋axn＋b，
由不等关系确定F(x)的单调性;
(2)出现f ′(x)±g′(x)的不等关系，构造函数F(x)＝f(x)±g(x),由不等
关系确定F(x)的单调性.
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型1：加、减法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
C
类型1：加、减法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
D
类型1：加、减法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
A
类型1：加、减法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
D
类型1：加、减法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型1：加、减法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
D
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
C
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
D
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
C
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
B
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
B
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
B
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型2：乘、除法则逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
A
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
A
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
B
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
C
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型3：(ex)′=ex的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
A
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
二、函数的单调性与导数题型分析
类型4：(sin x)′=cos x，(cos x)′=－sin x的的逆向变形应用
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
二、函数的单调性与导数题型分析
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型5：原函数与导函数的不等式大于或小于一个非零常数问题
二、函数的单调性与导数题型分析
A
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型5：原函数与导函数的不等式大于或小于一个非零常数问题
二、函数的单调性与导数题型分析
C
题型7：原函数与导函数的不等关系,构造函数法解决不等式问题
类型5：原函数与导函数的不等式大于或小于一个非零常数问题

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