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导数
5.1.1函数的变化率和导数的定义
h
t
o
问题：在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水
面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)
＝－4.9t2＋2.8t＋11．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运
动的快慢程度呢？
一、平均速度和瞬时速度
在 0 ≤ t ≤0.2这段时间里，
在 1≤ t ≤1.5这段时间里，
思考1：如何求运动员从起跳到0.2秒，起跳后1秒到1.5秒这两段时间的
平均速度？
h
t
o
h(高度的变化量)
t(时间的变化量)
思考2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？
一、平均速度和瞬时速度
h
t
o
运动员平均速度为0，但显然在此期间运动员并非静止状态，因此平均速度不能准确反映运动员在一段时间内的运动状态.故为了精确刻画运动状态，需要引入瞬时速度的概念，来描述物体在某一时刻的速度.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
一、平均速度和瞬时速度
思考3.瞬时速度与平均速度有什么关系？如何求运动员在t=1s时的瞬时
速度吗？
平均速度
缩短时间段长度
瞬时速度v(t0)
计算区间[1+ t,1]和区间[1,1+ t]内的平均速度
当 t>0时，在区间[1,1+ t]内
当 t<0时，在区间[1+ t,1]内
一、平均速度和瞬时速度
△t<0时，在[ 1+△t，1 ]这段时间内 △t>0时，在[1，1+△t ]这段时间内
-0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
-0.000001 0.000001
…… ……
运动员在t=1附近时间段的平均速度表：
-7.049
-7.0049
-7.00049
-7.000049
-7.0000049
-6.951
-6.9951
-6.99951
-6.999951
-6.9999951
一、平均速度和瞬时速度
当△t趋近于0时, 即无论t从小于1的一边, 还是从大于1的一边趋近于1时, 平均速度都趋近于一个确定的值–7.
从物理学的角度看，当时间间隔|△t|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t=1时的瞬时速度。
因此，运动员在t=1s时的瞬时速度
一、平均速度和瞬时速度
1. 平均速度：设物体的运动规律是s(t),物体在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均
速度为：
2. 瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；当Δt无限趋
近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
无限逼近
取极限
物体运动的平均速度
物体运动的瞬时速度
一、平均速度和瞬时速度
练一练1.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相
应的平均速度是(　　)
A.4 B.4.1 C.0.41 D.3
2
3
4
B
5
一、平均速度和瞬时速度
练一练2.一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t
(单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度.
一、平均速度和瞬时速度
一、平均速度和瞬时速度
C
练一练4.火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求：
(1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度；
(2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度.
一、平均速度和瞬时速度
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和瞬时变化率:
1.函数f(x)从x1到x2的平均变化率
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
B
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
B
2. 函数在x0附近的平均变化率
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
A
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
C
3. 导数的定义（瞬时变化率）
4. 对导数定义的理解
(1)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；
(2)f′(x0)与 x的具体取值无关；
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
4. 对导数定义的理解
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
(3)f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
例如：函数f(x) =|x|，在x0=0 处，
我们就说函数f(x)=|x|在x=0处没有导数，称为不可导。
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
6
A
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行
冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解析：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6).
所以
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
5. 导数（瞬时变化率）的变形形式
一般地。
特点：函数值之差与对应自变量之差的极限。
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
D
A
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
C
二、函数的平均变化率和瞬时变化率（导数）
D
三、导函数
6. 导函数的定义
三、导函数
三、导函数
三、导函数
三、导函数
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
1．基本初等函数的导数公式
解析:
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
2．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，
D
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
3．复合函数的定义及其导数
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
e2
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
C
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
6
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
5
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
C
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
4．导数运算题型分析
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
四、基本初等函数的导数和导数的运算法则
4．导数运算题型分析
C

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