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导数
函数的最值与导数
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
1.函数单调性与导数关系
如果在某个区间内恒有f ′(x)=0,则f(x)为常数.
设函数y=f(x)在某个区间内可导，
f(x)为增函数
一 回顾复习
f ′(x)>0
f ′(x)<0
f(x)为减函数；
设函数f(x)在点x0附近有定义，
如果对x0附近的所有
点，都有 f(x)则f(x0) 是函数f(x)的 一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
如果对x0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，
记作y极小值= f(x0)；
函数的极大值与极小值统称为极值.
使函数取得极值的点x0称为极值点
一 回顾复习
2.函数极值与导数关系
3.求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数的定义域; (2)求方程f ′(x)=0的根;
(3)用方程f ′(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，
并列成表格；
(4)由f ′(x)在方程f ′(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极
值的情况。
左正右负极大值；左负右正极小值。
一 回顾复习
在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
一 回顾复习
一 回顾复习
4.函数最值的定义
(1)最大值:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; ②存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)最小值:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; ②存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象如图所示：
发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。
f(x1)、f(x3)
f(x2)
f(b)
f(x3)
x
x2
o
a
x3
b
x1
y
y=f(x)
如何求出函数在[a,b]上的最值？
二 函数在闭区间上的最值
问题1：闭区间[a,b]上的连续不断的函数一定有最值吗？
x
o
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。
二 函数在闭区间上的最值
问题2：闭区间[a,b]上的连续不断的函数的最值一定在极值点处取得吗？
一定在区间端点处取得吗？
不一定，得比较极值与端点的值的大小
二 函数在闭区间上的最值
问题3：如何求函数在闭区间上的最值？
解析：f′(x)＝12－3x2，－3≤x≤3.
令f′(x)＝0，得x=2或x=－2
∵f(2)=22,f(－2)=－10,f(3)=15,f(－3)=－3,
∴函数在f(x)在区间[－3,3]上的最大值为22，最小值－10。
第二步：求出f(x)的极值和端点的函数值f(a)、f(b)；
求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
第一步：求出f(x)在区间(a,b)内极值点；
二 函数在闭区间上的最值
第三步：比较极值和f(a)、f(b)的大小，其中最大的一个为最大值，最
小的一个为最小值.
练一练1.函数y=x3－3x2，在［－2，4］上的最大值为（ ）
A. －4 B. 0 C. 16 D. 20
C
二 函数在闭区间上的最值
练一练2.函数 y = x + 3 x －9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 ,最小值
为 .
解析：由 f (x)=3x +6x－9=0,－4≤x≤4.
得x1=－3，x2=1
∵f(－3)=27, f(1)=－5, f(4)=76, f(－4)=20,
∴函数在f(x)在区间[－4,4]上的最大值为76，最小值－5。
76
－5
二 函数在闭区间上的最值
二 函数在闭区间上的最值
二 函数在闭区间上的最值
问题4：函数在开区间上的最值又该如何求？
x
o
y
a
x1
b
y=f(x)
x2
x3
x4
x5
x6
该函数没有最值
如图1
二 函数在闭区间上的最值
问题4：函数在开区间上的最值又该如何求？
如图2
没有最值
有最大值没有最小值
有最小值无最大值
有最小值有最大值
第一步：准确求出函数f(x)的导函数f ′(x)；
第二步：求出f(x)在给定区间上的单调性和极值；
第三步：求出f(x)在给定区间上的端点的函数值；
第四步：将函数的各极值与端点的函数值进行比较，确定f(x)的最大值
与最小值.
二 函数在闭区间上的最值
导数法求给定区间(闭区间，开区间，闭区间，半开半闭区间)上函数的最值问题的一般步骤：
注意：(1)求最值时，应注意极值与端点处的函数值大小关系不确定时，
需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
二 函数在闭区间上的最值
例1.函数f(x)＝x3－3x(x<1)(　　)
A.有最大值，无最小值 B.有最大值，最小值
C.无最大值，最小值 D.无最大值，有最小值
解析：f′(x)＝3x2－3＝0得x＝－1或1(舍去)，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.
故f(x)有最大值而无最小值.
A
注意：(2)求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，
所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函
数单调性的研究.
二 函数在闭区间上的最值
C
小结：函数的最值
(1)函数的极值是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而
言,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函
数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的
极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不
一定就是最大值(最小值).
二 函数在闭区间上的最值
三 函数在闭区间上的最值例题分析
题型1：求给定区间上函数的最值
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
－4
三 函数在闭区间上的最值例题分析
0
A
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
C
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
A
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
A
三 函数在闭区间上的最值例题分析
题型2：已知函数的最值求参数的值(范围)
三 函数在闭区间上的最值例题分析
－71
三 函数在闭区间上的最值例题分析
B
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
题型3：含待定字母的函数的最值
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析
三 函数在闭区间上的最值例题分析

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