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周测5　二次函数与一元二次方程、不等式
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.不等式≥0的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　由不等式≥0，
得(2x-1)(x+4)≥0且x+4≠0，
解得x<-4或x≥.
2.已知条件p：x>1，条件q：-x2-2x+3≤0，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由题意条件p：x>1，条件q：-x2-2x+3≤0 x≤-3或x≥1，所以p是q的充分不必要条件.
3.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x (件)与单价P (元)之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C=(500+30x)元，若要求每天获利不少于1 300元，则日销售量x的取值范围是(　　)
A.{x|20≤x≤30，x∈N*}
B.{x|20≤x≤45，x∈N*}
C.{x|15≤x≤30，x∈N*}
D.{x|15≤x≤45，x∈N*}
答案　B
解析　设该厂每天获得的利润为y元，
则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500，0根据题意，可得-2x2+130x-500≥1 300，
即(x-20)(x-45)≤0，解得20≤x≤45，
所以日销售量x的取值范围是{x|20≤x≤45，x∈N*}.
4.关于x的方程x2+x+2a=0有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，则实数a的取值范围为(　　)
A.{a|a<-1}
B.
C.
D.
答案　A
解析　根据方程x2+x+2a=0有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，
可知解得a<-1.
5.已知x>0，y>0且+=1，若2x+yA.{m|m<-1或m>9}
B.{m|m≤-1或m≥9}
C.{m|-9D.{m|-9≤m≤-1}
答案　A
解析　因为x>0，y>0，且+=1，
所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9，
当且仅当=且+=1，即x=y=3时取等号，此时2x+y取得最小值9，
若2x+y9或m<-1.
6.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解中恰有3个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A.4B.-3C.4D.-3≤a<-2或4答案　D
解析　由题意得(x-a)(x-1)<0.
∵解中恰有3个整数，
∴当a<1时，由a当a>1时，由1综上所述，-3≤a<-2或4二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列不等式中解集不是空集的是(　　)
A.x2+6x+9≤0
B.x2-3x+3<0
C.x2-2ax+a2-1≥0
D.-x2-2x-1>0
答案　AC
解析　对于A，x2+6x+9=(x+3)2≤0，解得x=-3，故解集为{-3}，不是空集，满足题意；
对于B，x2-3x+3=+≥，故x2-3x+3<0的解集为空集，不满足题意；
对于C，Δ=4a2-4(a2-1)=4>0，故解集不是空集，满足题意；
对于D，-x2-2x-1=-(x+1)2≤0，故-x2-2x-1>0的解集为空集，不满足题意.
8.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式(x-a)(x-2)<0的解集可能为(　　)
A.{x|x<2或x>a}
B.{x|x2}
C.{x|aD.
答案　CD
解析　当a<2时，此时解集为{x|a当a=2时，此时解集为 ；
当a>2时，此时解集为{x|29.已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)-2>0的解集是{x|x1A.x1+x2+2=0 B.-3C.|x1-x2|>4 D.x1x2+3<0
答案　AB
解析　由题意可得a<0，a(x-1)(x+3)-2=a(x-x1)(x-x2)，
即ax2+2ax-3a-2=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2，
则即x1+x2+2=0，x1x2+3=->0，故A正确，D错误；
令a(x-1)(x+3)=0，其根为x3=-3，x4=1，
结合二次函数性质可得-3x2-x1<1-(-3)=4，即|x1-x2|<4，故B正确，C错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知a+c=0且a≠c，则二次函数y=ax2+bx+c有　　　　个零点.
答案　2
解析　∵a+c=0，∴a=-c，
又a≠c，∴ac<0，∴Δ=b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c有2个零点.
11.若对任意实数x，都有意义，则实数k的取值范围是 　　　　　　　.
答案　{k|0≤k≤8}
解析　因为y=的定义域为R，
即kx2-kx+2≥0恒成立，
若k=0，则2≥0成立；
若k≠0，则有解得0综上可得，0≤k≤8，
所以实数k的取值范围是{k|0≤k≤8}.
12.已知二次函数y=x2-ax-b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式y>c的解集为{x|xm+1}，则实数c的值为　　　　.
答案　4
解析　∵二次函数y=x2-ax-b(a，b∈R)的最小值为0，∴方程x2-ax-b=0有两个相等的实数根，
则Δ=a2+4b=0，得b=-.
由题意可知方程x2-ax+-c=0的两个根为m-3，m+1，由根与系数的关系可得，
m-3+m+1=2m-2=a，(m-3)·(m+1)=m2-2m-3=-c，
∴m2-2m-3=-c，解得c=4.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知不等式ax2+bx+1>0的解集为，求不等式≤0的解集.
解　因为不等式ax2+bx+1>0的解集为，
则-，是方程ax2+bx+1=0的两根，则解得
所以不等式≤0，即≤0，
化简可得≥0，即解得x<-1或x≥，
所以不等式的解集为.
14.(12分)设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m=x-，n=-x2+5x+，当m-n≥0时，称不亏损企业；当m-n<0时，称亏损企业，且n-m为亏损额.
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？(5分)
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？(7分)
解　(1)依题意得，m-n≥0，
即x-≥-x2+5x+，
整理得x2-2x-8≥0，解得x≥4或x≤-2(舍)，
所以企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机.
(2)由(1)可知当0亏损额n-m=-=-x2+x+2=-(x-1)2+，
所以当x=1时，n-m取最大值，
此时m=×1-=，
即当月总产值为 万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为 万元.
15.(13分)已知函数y=mx2+mx+3，m∈R.
(1)若关于x的不等式y>0在实数集R上恒成立，求实数m的取值范围；(5分)
(2)解关于x的不等式y>(3m-1)x+5.(8分)
解　(1)依题意，mx2+mx+3>0在实数集R上恒成立.
①当m=0时，3>0，成立；
②当m≠0时，要使原不等式恒成立，
则解得0综上，0≤m<12，
故实数m的取值范围是{m|0≤m<12}.
(2)不等式y>(3m-1)x+5，
等价于mx2+(1-2m)x-2>0，
即(x-2)(mx+1)>0.
①当m>0时，解得x>2或x<-；
②当m=0时，不等式整理为x-2>0，解得x>2；
③当m<0时，方程(x-2)(mx+1)=0的两根为x1=-，x2=2.
(ⅰ)当->2，即-解得2(ⅱ)当-=2，即m=-时，原不等式的解集为 ；
(ⅲ)当-<2，即m<-时，解得-综上所述，当m<-时，原不等式的解集为；
当m=-时，原不等式的解集为 ；
当-当m=0时，原不等式的解集为{x|x>2}；
当m>0时，原不等式的解集为.

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