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周测7　函数的概念及其表示
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=，g(x)=
B.f(x)=1，g(x)=x0
C.f(x)=g(t)=|t|
D.f(x)=x，g(x)=
答案　C
解析　因为函数f(x)=的定义域为(-∞，+∞)，函数g(x)=的定义域为[0，+∞)，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一个函数，故A错误；
因为函数f(x)=1的定义域为(-∞，+∞)，函数g(x)=x0的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一个函数，故B错误；
因为函数f(x)==|x|的定义域为(-∞，+∞)，且g(t)=|t|的定义域为(-∞，+∞)，定义域相同，对应关系也相同，所以f(x)，g(t)是同一个函数，故C正确；
因为函数f(x)=x的定义域为(-∞，+∞)，函数g(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一个函数，故D错误.
2.函数y=+(2x+1)0的定义域为(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
答案　B
解析　依题意得
解得x<且x≠-，
所以该函数的定义域为∪.
3.已知函数f(x)=则f等于(　　)
A.- B.-
C.- D.-
答案　B
解析　由题意得f=-3×=-，
f=3+3×=-，
所以f=-.
4.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t).则函数y=f(t)的大致图象是(　　)
答案　A
解析　依题意，当t=0时，f(t)=0；当0从而可以求得f(t)=t·t=；
当1可得f(t)=-=-(t-2)2+；
当t=2时，f(t)=，
所以f(t)=
从而可知选项A的图象满足题意.
5.若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A.[3，4] B.
C. D.
答案　D
解析　因为f(x)=x2-3x-4=-，
当x=时，f(x)=-；当x=0或3时，f(x)=-4.
因此当≤m≤3时，函数f(x)=x2-3x-4在区间[0，m]上的最小值为-，最大值为-4，所以实数m的取值范围是.
6.已知函数f(x)=若互不相等的实数x1，x2，x3(x1A.(2，8) B.(-8，4)
C.(-6，0) D.(-6，8)
答案　A
解析　根据函数的解析式可得函数图象如图所示，
若互不相等的实数x1，x2，x3(x1二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.函数y=f(x)的图象如图，则(　　)
A.函数f(x)的定义域为[-4，4)
B.函数f(x)的值域为[0，+∞)
C.f(f(1))=5
D.对于任意的y∈(5，+∞)，都有唯一的自变量x与之对应
答案　BCD
解析　由函数图象可知函数定义域为[-4，0]∪[1，4)，故A错误；由函数图象可知函数值域为[0，+∞)，故B正确；由图象可知，f(1)=0，f(0)=5，故f(f(1))=5，故C正确；由图象可知对于任意的y∈(5，+∞)，x与y是一一对应关系，故此时都有唯一的自变量x与之对应，故D正确.
8.已知函数f(+1)=x+2+1，则(　　)
A.f(x)=x2(x∈R)
B.f(x)的最小值为-1
C.f(2x-3)的定义域为[2，+∞)
D.f的值域为[1，+∞)
答案　CD
解析　依题意，f(+1)=+2+1=，则f(x)=x2，x≥1，A错误；
当x≥1时，f(x)≥1，当且仅当x=1时取等号，B错误；
在f(2x-3)中，2x-3≥1，解得x≥2，因此f(2x-3)的定义域为[2，+∞)，C正确；
显然f=，09.函数D(x)=称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　)
A.D(D(2))=D(D())
B.D(x)的值域为{0，1}
C.D(x)≠D(-x)
D.对任意实数x，都有D(x+1)=D(x)
答案　ABD
解析　对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))=D(1)=1，D(D())=D(0)=1，所以A正确；
对于B，函数D(x)的函数值只有两个，为0和1，故值域为{0，1}，所以B正确；
对于C，若x∈Q，则-x∈Q，则D(x)=D(-x)=1，若x∈ RQ，则-x∈ RQ，则D(x)=D(-x)=0，综上可得D(x)=D(-x)，所以C错误；
对于D，当x∈Q时，x+1∈Q，此时D(x+1)=D(x)=1；
当x∈ RQ时，x+1∈ RQ，此时D(x+1)=D(x)=0，所以D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若函数y=f(x)的图象如图所示，则它的解析式为　　　　.
答案　f(x)=
解析　当0≤x≤1时，设函数解析式为y=kx(k≠0)，由题意知k=2，所以y=2x；
当1所以f(x)=
11.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如，[-2.1]=-3，[3.1]=3.已知函数f(x)=-，则函数y=[f(x)]的值域是　　　　.
答案　{-1，0，1}
解析　显然，f(0)=.
当x≠0时，f(x)=-
==
=+.
令t=x+，当x>0时，t=x+≥2=2，当且仅当x=1时等号成立，
则0<≤，当x<0时，-x>0，t=x+=-≤-2=-2，当且仅当x=-1时等号成立，
则-≤<0，-2×=-≤f(x)<.
综上所述，f(x)的值域为，
所以根据高斯函数的定义，函数y=[f(x)]的值域是{-1，0，1}.
12.已知函数f(x)=，则f+f+…+f+f(1)+f(2)+…+f(2 024)+f(2 025)=　　　　.
答案　
解析　 因为f(x)+f=+==，f(1)=，所以f+f+…+f+f(1)+f(2)+…+f(2 024)+f(2 025)
=×2 024+=.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知f(x)=x2-2|x|+2.
(1)用分段函数的形式表示该函数；(4分)
(2)画出f(x)在区间[-1，3]上的图象；(4分)
(3)根据图象写出f(x)在区间[-1，3]上的值域.(4分)
解　(1)当x≥0时，f(x)=x2-2x+2；当x<0时，f(x)=x2+2x+2，
所以f(x)=
(2)根据二次函数图象的性质，f(x)在区间[-1，3]上的图象如图所示.
(3)由(2)中的图象可知，当x=-1或x=1时，函数有最小值为f(-1)=f(1)=1；
当x=3时，函数有最大值为f(3)=5，
所以f(x)在区间[-1，3]上的值域为[1，5].
14.(12分)设f(x)是R上的函数，f(0)=1，并且对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(y)+x(x+2y+1)，求f(x).
解　由题意知f(0)=1，
又f(x+y)=f(y)+x(x+2y+1)，
令y=-x，则f(x-x)=f(-x)+x(-x+1)，
所以1=f(-x)-x2+x，
即f(-x)=x2-x+1，
所以f(x)=x2+x+1.
此时f(x+y)=x2+2xy+y2+x+y+1，
f(y)+x(x+2y+1)=x2+2xy+x+y2+y+1=f(x+y)，
符合题设要求，故f(x)=x2+x+1.
15.(13分)已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若f(x)的值域是(0，+∞)，求实数a的取值范围.(7分)
解　(1)由题意知，f(x)=的定义域是R，
所以ax2+ax+1>0恒成立，
当a=0时，1>0恒成立；
当a≠0时，应满足解得0综上可得0≤a<4，
所以实数a的取值范围为[0，4).
(2)由题意知，f(x)=的值域是(0，+∞)，
令y=ax2+ax+1，
设其值域为A，所以(0，+∞) A，
当a=0时，y=1 不满足题意；
当a<0时，y=ax2+ax+1的图象开口向下，不满足题意；
当a>0时，应满足a2-4a≥0，解得a≥4，
综上可得a≥4，所以实数a的取值范围为[4，+∞).

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