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周测8　函数的基本性质
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)= B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=3-x D.f(x)=-|x|
答案　A
解析　函数f(x)===1-，
其在(0，+∞)上单调递增，故A符合题意；
函数f(x)=x2-3x图象的对称轴为直线x=，
故其在上单调递减，故B不符合题意；
函数f(x)=3-x在(0，+∞)上单调递减，故C不符合题意；
函数f(x)=-|x|在(0，+∞)上单调递减，故D不符合题意.
2.已知f(x)=为奇函数，则实数a等于(　　)
A.-2 B.2
C.1 D.-1
答案　A
解析　当x<0时，-x>0，所以f(x)=-f(-x)=-=x3-2x2，
通过对比系数得a=-2.
3.设函数y=f(x) 是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递减，则f(-e)，f(π)，f(-3) 的大小关系为(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-e)
B.f(-3)>f(-e)>f(π)
C.f(-e)>f(-3)>f(π)
D.f(π)>f(-e)>f(-3)
答案　C
解析　因为函数y=f(x)是R上的偶函数，在[0，+∞)上单调递减，所以f(-x)=f(x)，
即f(-e)=f(e)，f(-3)=f(3)，
由e<3<π，可得f(e)>f(3)>f(π)，
即有f(-e)>f(-3)>f(π).
4.函数f(x)=的图象为(　　)
答案　D
解析　因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(-x)==-=-f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；
因为当x>1时，f(x)===x-，因为y=x，y=-都在(1，+∞)上单调递增，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，排除B，C；D符合题意.
5.若函数f(x)=x2-2ax+1-a在[0，2]上的最小值为-1，则a等于(　　)
A.2或 B.1或
C.2 D.1
答案　D
解析　函数f(x)=x2-2ax+1-a图象的对称轴为直线x=a，图象开口向上，
当a≤0时，函数f(x)在[0，2]上单调递增，
则f(x)min=f(0)=1-a，由1-a=-1，得a=2，不符合a≤0，舍去；
当0由-a2-a+1=-1，得a=-2或a=1，
又0当a≥2时，函数f(x)在[0，2]上单调递减，
∴f(x)min=f(2)=4-4a+1-a=5-5a，
由5-5a=-1，得a=，不符合a≥2，舍去.
综上可得a=1.
6.定义在R上的奇函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，若f(m2)+f(-3-2m)>f(0)，则实数m的取值范围为(　　)
A.(-1，3) B.[0，2]
C.(-1，2) D.(1，3)
答案　A
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上单调递减，
所以f(x)在定义域R上单调递减，且f(0)=0，
所以f(m2)+f(-3-2m)>f(0)=0，即f(m2)>-f(-3-2m)=f(2m+3)，
故可知m2<2m+3，即m2-2m-3<0，解得-1二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.已知函数f(x)，g(x)均为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且f(x)≠0，g(x)≠0，则(　　)
A.f(x)+g(x)是奇函数
B.f(x)-g(x)是奇函数
C.f(x)g(x)是偶函数
D.f(x)|g(x)|是偶函数
答案　ABC
解析　因为函数f(x)，g(x)均为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)，
对于A，设F(x)=f(x)+g(x)，
则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x)，
所以f(x)+g(x)为奇函数，故A正确；
对于B，设F(x)=f(x)-g(x)，则F(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)+g(x)=-F(x)，
所以f(x)-g(x)为奇函数，故B正确；
对于C，设F(x)=f(x)g(x)，则F(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=F(x)，
所以f(x)g(x)为偶函数，故C正确；
对于D，设F(x)=f(x)|g(x)|，则F(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|-g(x)|=-F(x)，
所以f(x)|g(x)|是奇函数，故D错误.
8.当x≥1时，下列函数的最小值为4的有(　　)
A.y= B.y=
C.y=4x+ D.y=5x-
答案　ABD
解析　y===+≥2=4，
当且仅当即x=时取等号，所以该函数的最小值为4，故A符合题意；
y===(2x-1)+≥2=4，当且仅当即x=时取等号，所以该函数的最小值为4，故B符合题意；
由题知x>0，y=4x+≥2=4，
当且仅当4x=，即x=时，取等号，
所以当x≥1时，y=4x+>4，故C不符合题意；
因为y=5x-在[1，+∞)上单调递增，所以函数的最小值为5×1-=4，故D符合题意.
9.已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2]上单调递增，且f(x+2)为偶函数，则(　　)
A.f(x)图象的对称中心为(2，0)
B.f(x)图象的对称轴为直线x=2
C.f(-1)>f(4)
D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1，+∞)
答案　BD
解析　 因为f(x+2)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f(x)图象的对称轴为直线x=2，故A错误，B正确；又f(x)在(-∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，+∞)上单调递减，所以f(-1)=f(5)f(4x)结合f(x)的对称性及单调性，得|x+3-2|<|4x-2|，即(x+3-2)2<(4x-2)2，即(5x-1)·(3x-3)>0，解得x<或x>1，所以不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1，+∞)，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x)≥0的x的取值范围是　　　　　　　　.
答案　[-2，2]
解析　f(x)为R上的奇函数，且在(-∞，0)上单调递减，f(2)=0，
∴f(-2)=0，f(0)=0，且f(x)在(0，+∞)上单调递减，
∴f(x)≥0 x≤-2或0≤x≤2，f(x)≤0 -2≤x≤0或x≥2，
∴由xf(x)≥0可得或
即011.已知函数f(x)=对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　[2，3]
解析　由题意得f(x)=
在R上是减函数，根据分段函数的性质可知，解得2≤m≤3，所以实数m的取值范围是[2，3].
12.已知函数f(x)=2ax-1，g(x)=-x2+2x+1，若对任意的x1∈[-1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f(x1)答案　
解析　因为对任意的x1∈[-1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f(x1)所以f(x)maxg(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2图象的对称轴为直线x=1，且开口方向向下，
因为x∈[0，2]，
所以当x=1时，g(x)max=g(1)=2，
当a>0时，函数f(x)=2ax-1在[-1，1]上单调递增，
所以f(x)max=f(1)=2a-1，
所以2a-1<2，又a>0，则0当a=0时，函数f(x)=-1在[-1，1]上为常数函数，满足f(x)max=-1<2；
当a<0时，函数f(x)=2ax-1在[-1，1]上单调递减，
所以f(x)max=f(-1)=-2a-1，
所以-2a-1<2，又a<0，则-综上，-即实数a的取值范围为.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=为奇函数，且f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式；(6分)
(2)求证：f(x)在区间[1，+∞)上单调递增.(6分)
(1)解　由函数f(x)为奇函数，且定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
可得f(-1)=-f(1)，即-(a-b+1)=-(a+b+1)，解得b=0，
又f(1)=a+1=3，解得a=2，
所以f(x)=2x+，
对任意的x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=-2x-=-f(x)，满足f(x)为奇函数，
综上可得，f(x)=2x+(x≠0).
(2)证明　对任意的x1，x2∈[1，+∞)，且x1有f(x1)-f(x2)=2x1+-
=2(x1-x2)-=，
由1≤x11，x1-x2<0，
则f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在区间[1，+∞)上单调递增.
14.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示，请根据图象：
(1)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)的单调区间；(3分)
(2)写出函数f(x)的解析式；(4分)
(3)若a∈R，函数g(x)=f(x)+(3-a)x+4(x∈[2，4])，求函数g(x)的最小值.(5分)
解　(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
则函数f(x)的图象如图所示，
故函数f(x)的单调递减区间为(-∞，-2)，(0，2)，单调递增区间为[-2，0]，[2，+∞).
(2)令x>0，则-x<0，
则f(-x)=(-x)2-4x=x2-4x，
又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(x)=f(-x)=x2-4x，x>0，
所以f(x)=
(3)当x∈[2，4]时，f(x)=x2-4x，
则g(x)=x2-4x+(3-a)x+4=x2-(a+1)x+4，其图象的对称轴为直线x=，
因为x∈[2，4]，
当<2，即a<3时，g(x)在[2，4]上单调递增，
所以g(x)min=g(2)=6-2a；
当2≤≤4，即3≤a≤7时，
g(x)min=g=；
当>4，即a>7时，g(x)在[2，4]上单调递减，
所以g(x)min=g(4)=16-4a.
综上，g(x)min=
15.(13分)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0且f(1)=-2.
(1)求f(0)的值，并用定义判断f(x)的奇偶性；(3分)
(2)判断f(x)的单调性并求函数f(x)在区间[-4，4]上的值域；(5分)
(3)若对于 x∈[-4，4]， a∈[-1，1]，f(x)解　(1)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，
故取x=y=0，则f(0)=2f(0)，得f(0)=0，
取y=-x，则f(x)+f(-x)=f(0)=0，
所以f(x)=-f(-x)对任意x∈R恒成立，
所以f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)为R上的减函数，理由如下：
任取x1，x2∈R且x10，
因为当x>0时，f(x)<0，
所以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，
所以f(x2)<-f(-x1)，
又f(x)为奇函数，可得f(x1)>f(x2)，
故f(x)为R上的减函数.
所以函数f(x)在区间[-4，4]上单调递减，则f(x)max=f(-4)，f(x)min=f(4)，
又因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=-4，f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=-8，f(-4)=-f(4)=8，
故函数f(x)在区间[-4，4]上的值域为[-8，8].
(3)由(2)可知函数f(x)在区间[-4，4]上的值域为[-8，8]，所以此时f(x)max=8，
若对于 x∈[-4，4]， a∈[-1，1]，f(x)设g(a)=-ma+m2+2，a∈[-1，1]，则f(x)max当m>0时，g(a)=-ma+m2+2在[-1，1]上单调递减，
所以g(a)min=g(1)=m2-m+2，
所以m2-m+2>8，解得m<-2(舍)或m>3；
当m=0时，g(a)=2，不满足题意；
当m<0时，g(a)=-ma+m2+2在[-1，1]上单调递增，
所以g(a)min=g(-1)=m2+m+2，
所以m2+m+2>8，解得m<-3或m>2(舍)；
综上所述，实数m的取值范围为(-∞，-3)∪(3，+∞).

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