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周测9　幂函数及函数的应用(一)
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.已知f(x)=(k2+2k+2)x2k+1+m-3是幂函数，则f(m)等于(　　)
A.3 B.
C.6 D.
答案　D
解析　由题知k2+2k+2=1，解得k=-1，且m-3=0，解得m=3，∴f(x)=x-1=，∴f(m)=f(3)=.
2.关于幂函数的图象，下列选项描述正确的是(　　)
A.幂函数的图象一定经过(0，0)和(1，1)
B.幂函数的图象一定关于y轴或原点对称
C.幂函数的图象一定不经过第四象限
D.两个不同的幂函数的图象最多有两个公共点
答案　C
解析　函数y=的图象不经过点(0，0)，所以A不正确；y=是非奇非偶函数，所以B不正确；对于幂函数y=xα，当x>0时，y>0一定成立，所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以C正确；y=x3，y=x，令x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以幂函数y=x3和y=x的图象有三个交点，所以D不正确.
3.当α∈时，幂函数y=xα的图象一定经过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　因为y=x-1的图象经过第一、三象限；y=的图象经过第一象限；y=x的图象经过第一、三象限；y=x3的图象经过第一、三象限；
所以y=xα的图象一定经过第一象限.
4.某超市开展花式优惠促销活动，规定消费金额不超过100元不享受优惠，超过100元的部分享受优惠，具体优惠如表所示.
享受优惠的消费金额 不超过100元的部分 超过100元但不超过200元的部分 超过200元但不超过500元的部分 …
优惠率(%) 5 10 20 …
若某顾客从该超市购物优惠额为56.5元，则该顾客购物的总金额为(　　)
A.482.5元 B.507.5元
C.532.5元 D.582.5元
答案　B
解析　显然该顾客购物的总金额享受优惠，
享受优惠的消费金额中，不超过100元的部分，优惠金额为100×5%=5，
超过100元但不超过200元的部分，优惠金额为100×10%=10，
又(500-200)×20%=60，
因此还有56.5-10-5=41.5(元)是超过200元但不超过500元的部分的优惠，
设该顾客购物的总金额为x元，则(x-200-100)×20%=41.5，解得x=507.5.
5.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.c答案　A
解析　由函数y=x3.1在(0，+∞)上单调递增，且<<1，
则<<13.1=1，
由函数y=在(0，+∞)上单调递增，且3.1>1，
则3.>=1，
所以<<3.，即c6.已知函数f(x)=3x5+x3+5x+2，若f(a)+f(2a-1)>4，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(-∞，3) D.(3，+∞)
答案　A
解析　设g(x)=f(x)-2，x∈R，则g(-x)=3(-x)5+(-x)3+5(-x)=-(3x5+x3+5x)=-g(x)，即g(x)为奇函数，
可判断g(x)在R上单调递增，把f(a)+f(2a-1)>4转化为f(a)-2>-[f(2a-1)-2]，所以g(a)>-g(2a-1)=g(1-2a)，所以a >1-2a，解得a>，所以实数a的取值范围是.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列既是奇函数，又在(0，+∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)=x|x| B.f(x)=
C.f(x)=+x D.f(x)=x3
答案　AD
解析　对于A，f(x)=x|x|=故A符合题意；
对于B，y=x2在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故B不符合题意；
对于C，f(x)=+x在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故C不符合题意；
D显然符合题意.
8.已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则(　　)
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.当x≥4时，f(x)≥2
D.当x2>x1>0时，答案　ACD
解析　设幂函数f(x)=xα，则f(9)=9α=3，解得α=，所以f(x)==，
所以f(x)的定义域为[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上单调递增，故A正确；
因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)不是偶函数，故B错误；
当x≥4时，f(x)≥f(4)==2，故C正确；
当x2>x1>0时，
-
=-
==-<0，
又f(x)≥0，所以9.某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了A，B两种计件工资核算方案，员工的计件工资y(单位：千元)与其生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A.当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用A，B 方案核算的计件工资相同
B.当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用A方案核算的计件工资更多
C.当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用B方案核算的计件工资更多
D.当某员工生产的产品件数为1 000时，该员工的计件工资最多为14 200元
答案　ACD
解析　从图中可得，A正确，B错误；
若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3 000元，采用B方案核算的计件工资为×200=(元)，
因为>3 000，所以该员工采用B方案核算的计件工资更多，故C正确；
从图中易得当x>8(100x∈N)时，员工采用A方案核算的计件工资更多，计件工资y(单位：千元)与生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系式为y=1.6x-1.8，
则当x=10时，y=14.2，即当某员工生产的产品件数为1 000时，该员工的计件工资最多为14 200元，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若函数f(x)是幂函数，满足f(4)=8f(2)，则f(1)+f=　　　　.
答案　
解析　设f(x)=xα，
因为f(4)=8f(2)，所以4α=8×2α，即22α=23+α，所以2α=3+α，解得α=3，所以f(x)=x3，则f(1)+f=13+=.
11.请写出一个同时满足下列三个条件的幂函数f(x)=　　　　.
①f(x)是偶函数；②f(x)在(0，+∞)上单调递增；③f(x)的值域是[0，+∞).
答案　x2(答案不唯一)
解析　因为f(x)是偶函数，在(0，+∞)上单调递增，f(x)的值域是[0，+∞)，所以同时满足三个条件的幂函数f(x)可以为f(x)=x2.
12.已知函数f(x)=当a=0时，f(x)的值域为　　　　；若f(x)在定义域上是增函数，则 a的取值范围是　　　　.
答案　R　[0，1]
解析　当a=0时，f(x)= 当x<0时，f(x)=x3∈(-∞，0)；当x≥0时，f(x)=x2∈[0，+∞)，所以函数f(x)的值域为R.
若函数f(x)=在定义域上是增函数，则解得0≤a≤1，
所以a的取值范围是[0，1].
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在(0，+∞)上单调递减.
(1)求f(x)的解析式；(5分)
(2)若f()解　(1)由题意可得
解得m=-，
故f(x)=x-2.
(2)由(1)可知，f(x)=x-2=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
由f()解得1因为幂函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，则>，解得1所以a的取值范围为.
14.(12分)已知幂函数y=f(x)的图象经过点M(4，16).
(1)求f(x)的解析式；(3分)
(2)设g(x)=，
①利用定义证明函数g(x)在区间[1，+∞)上单调递增；(4分)
②若g(x)≥t2-2t在[2，+∞)上恒成立，求t的取值范围.(5分)
(1)解　 设f(x)=xα，则4α=16，得α=2，
所以f(x)=x2.
(2)①证明　由(1)得g(x)==x+.
任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1则g(x1)-g(x2)=x1+-=x1-x2+-=(x1-x2)+
=(x1-x2)=(x1-x2).
因为1≤x11，所以g(x1)-g(x2)<0，即g(x1)所以函数g(x)在[1，+∞)上单调递增.
②解　由①知g(x)在[2，+∞)上单调递增，
所以在[2，+∞)上，g(x)min=g(2)=.
因为g(x)≥t2-2t在[2，+∞)上恒成立，所以≥t2-2t，即t2-4t-5≤0，解得-1≤t≤5.所以t的取值范围是[-1，5].
15.(13分)某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2 000万元，每生产x(x∈N*)百件，需另投入成本W(x)万元，且当0≤x<45时，W(x)=3x2+260x；当x≥45时，W(x)=501x+-4 950，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)分别写出当0≤x<45与x≥45时，年利润y(万元)与年产量x(百件)的关系式(利润=销售收入-成本)；(5分)
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8分)
解　(1)由题意可得当0≤x<45时，y=500x-3x2-260x-2 000=-3x2+240x-2 000，
当x≥45时，y=500x--2 000=2 950-.
(2)由(1)得当0≤x<45时，y=-3x2+240x-2 000=-3(x-40)2+2 800，
当x=40时，ymax=2 800；
当x≥45时，y=2 950-=2 970-，
因为x+20>0，>0，
所以2 970-≤2 970-2=2 970-2×70=2 830，即y≤2 830，
当且仅当x+20=，即x=50时等号成立，
此时ymax=2 830，
而2 800<2 830，故当x=50时，年利润最大，
综上所述，当年产量为50百件时，该公司所获年利润最大，最大年利润是2 830万元.

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