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周测11　单元检测卷(三)
(时间：120分钟　分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数 y=+ 的定义域是(　　)
A.(-∞，1] B.(-1，0)∪(0，1)
C.[-1，0)∪(0，1] D.(0，1]
答案　C
解析　由题意得解得-1≤x≤1且x≠0，故该函数的定义域是[-1，0)∪(0，1].
2.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递减的是(　　)
A.y=x3 B.y=
C.y=|x| D.y=
答案　D
解析　函数y=x3与y=为奇函数，故A，B错误；
函数y=|x|为偶函数，但在(0，+∞)上单调递增，故C错误；
函数y=为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，故D正确.
3.若幂函数的图象过点，则它在[1，3]上的最大值为(　　)
A. B.-1
C.1 D.-3
答案　C
解析　设幂函数f(x)=xα，将点代入得(-2)α=-，
解得α=-1，故f(x)=x-1=，它在[1，3]上单调递减，故当x=1时，取得最大值，
f(x)max=f(1)=1.
4.函数f(x)=|x-1|+1的图象大致是(　　)
答案　A
解析　因为f(x)=|x-1|+1=且f(1)=1，f(0)=2，故符合题意的只有A.
5.设f(x)=则f(9)的值为(　　)
A.9 B.11
C.28 D.14
答案　B
解析　f(9)=f(f(14))=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11.
6.某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行分时计价，
高峰时间段用电价格表：
高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.568
超过50至200的部分 0.598
超过200的部分 0.668
低谷时间段用电价格表：
低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分 0.288
超过50至200的部分 0.318
超过200的部分 0.388
若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为(　　)
A.200.7元 B.207.7元
C.190.7元 D.197.7元
答案　D
解析　高峰时间段电费为50×0.568+150×0.598+50×0.668=151.5(元)，低谷时间段电费为50×0.288+100×0.318=46.2(元)，故该家庭本月应付电费为151.5+46.2=197.7(元).
7.设函数f(x)=x和函数g(x)=x|x-4|，若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有>2，则t的最大值为(　　)
A. B.1
C.2 D.4
答案　B
解析　依题意，不妨设x1由>2得>2，
即g(x1)-g(x2)<2x1-2x2，
则g(x1)-2x1令h(x)=g(x)-2x，则h(x)在[0，t]上单调递增，
又h(x)=g(x)-2x=
当x<4时，h(x)=-x2+2x，
因为y=-x2+2x的图象开口向下，对称轴为直线x=1，
所以h(x)在(-∞，1]上单调递增，在(1，4)上单调递减，
所以08.设函数y=f(x)(x≠0)，对于任意负数x1，x2(x1≠x2)，都有<0.已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称，若f(2)=4，则f(x)≤x2的解集为(　　)
A.[-2，0)∪(0，2]
B.(-∞，-2]∪(0，2]
C.(-∞，-2]∪[2，+∞)
D.[-2，0)∪[2，+∞)
答案　A
解析　对任意负数x1，x2(x1≠x2)，都有<0，等价于<0，
因此函数g(x)=在(-∞，0)上单调递减，
又y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称，所以f(x)为偶函数，
因此g(x)=为偶函数，且g(x)在(-∞，0)上单调递减，
所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，
又g(2)==1，f(x)≤x2等价于g(x)=≤1，
因此当0g(x)≤1.因此不等式的解集为[-2，0)∪(0，2].
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.下列命题中是假命题的是(　　)
A.函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线
B.f(x)=+是函数
C.若函数f(x)的定义域为(-1，2)，则函数f(x+1)的定义域为(0，3)
D.f(x)=x+和g(t)=t+是同一个函数
答案　ABC
解析　对于A，因为函数y=2x(x∈N)的定义域为N，所以其图象是由离散的点(整点，横坐标和纵坐标都是整数)组成的，A错误；
对于B，因为要使与有意义，则不等式组无解，所以由函数的定义可得f(x)=+不是函数，B错误；
对于C，由f(x)的定义域为(-1，2)可得-1对于D，两函数的定义域都是(-∞，0)∪(0，+∞)，且对应关系相同，故该组函数是同一个函数，D正确.
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)=-x2-2x，则(　　)
A.f(x)的最大值为1
B.f(x)在区间(1，+∞)上单调递增
C.f(x)≥0的解集为[-2，2]
D.当x>0时，f(x)=x2-2x
答案　AC
解析　根据题意可知当x>0时，-x<0，所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x，
又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x2+2x，
因此f(x)=故D错误；
画出函数f(x)的图象如图所示，
由图可知，f(x)的最大值为1，故A正确；
易知f(x)在区间(1，+∞)上单调递减，故B错误；
结合图象可知f(x)≥0的解集代表的是函数图象在x轴及其上方部分对应的自变量的取值范围，即x∈[-2，2]，所以f(x)≥0的解集为[-2，2]，故C正确.
11.已知f(x)，g(x)在[t，+∞)上单调递增，f(t)=g(t)=M，若对任意k>M， x1A.g(x)=2x-1 B.g(x)=x2+
C.g(x)= D.g(x)=2-
答案　AB
解析　f(x)=x2在[1，+∞)上单调递增，f(1)=1=M，值域为[1，+∞)，
若对任意k>1， x1则g(x)在[1，+∞)上的值域为[1，+∞)，且在(1，+∞)上f(x)的图象在g(x)的图象的上方.
g(x)=2x-1在[1，+∞)上的值域为[1，+∞)，
x2-(2x-1)=(x-1)2≥0，当且仅当x=1时等号成立，
则在(1，+∞)上f(x)的图象在g(x)的图象的上方，符合要求，故A正确；
g(x)=x2+在[1，+∞)上的值域为[1，+∞)，
当x∈[1，+∞)时，x2-=(x2-1)≥0，当且仅当x=1时等号成立，
则在(1，+∞)上f(x)的图象在g(x)的图象的上方，符合要求，故B正确；
g(x)=在[1，+∞)上的值域为(0，1]，则g(x)不是f(x)在[1，+∞)上的“追逐函数”，故C错误；
g(x)=2-在[1，+∞)上的值域为[1，2)，
则g(x)不是f(x)在[1，+∞)上的“追逐函数”，故D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知函数f()=x+2，若f(a)=4，则a=　　　　.
答案　1
解析　令=t，t≥0，
则x=t2+1(t≥0)，f(t)=t2+3，
故f(a)=a2+3=4(a≥0)，解得a=1.
13.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，且x1≠±x2，有>0，则f(x)的最小值为　　　　.
答案　-2
解析　因为f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，
所以对任意x1，x2∈[-1，1]，且x1≠±x2，>0等价于>0，
所以f(x)在[-1，1]上单调递增.
因为f(1)=2，所以f(x)min=f(-1)=-f(1)=-2.
14.已知函数f(x)=满足对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　令函数g(x)=f(x)+x=
不等式>-1 >0 >0，
因为对任意的实数x1，x2且x1≠x2，都有>0，
则函数g(x)在R上是增函数，
函数y=-x2-(2a-1)x-1在(-∞，1)上单调递增，
有-≥1，解得a≤-，
此时函数y=，y=x在[1，+∞)上都单调递增，
即当a≤-时，y=+x在[1，+∞)上单调递增，
又-1-2a≤1+a，解得a≥-，
因此-≤a≤-，
所以实数a的取值范围是.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)为二次函数，f(x)的零点为-1和2，且f(0)=-4.
(1)求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调区间；(7分)
(2)求f(x)在区间[0，3]上的最大值和最小值.(6分)
解　(1)由二次函数f(x)的零点为-1和2，
设f(x)=a(x+1)(x-2)，a≠0，
由f(0)=-4，得-2a=-4，解得a=2，
则f(x)=2(x+1)(x-2)=2x2-2x-4，
所以f(x)的解析式为f(x)=2x2-2x-4，单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由(1)知，f(x)=2-，
f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x=，
又x∈[0，3]，则当x=时，有f(x)min=-；
当x=3时，有f(x)max=8，
所以f(x)在区间[0，3]上的最大值和最小值分别为8和-.
16.(15分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=.
(1)当x<0时，求f(x)的解析式；(7分)
(2)判断f(x)在[0，+∞)上的单调性，并用定义证明.(8分)
解　(1)当x<0时，则-x>0，
f(-x)==，
又因为f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)，
所以当x<0时，f(x)=-.
(2)函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，证明如下：
当x∈[0，+∞)时，f(x)===2-，
对任意的x1，x2∈[0，+∞)且x1f(x1)-f(x2)=2--=+=，
因为x1，x2∈[0，+∞)且x1则x1-x2<0，(x1+3)(x2+3)>0，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在[0，+∞)上单调递增.
17.(15分)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)(m∈Z)的定义域为R，且在[0，+∞)上单调递增.
(1)求m的值；(7分)
(2) x∈[1，2]，不等式af(x)-3x+2>0恒成立，求实数a的取值范围.(8分)
解　(1)由题得m2+2m-2=1，解得m=1或m=-3，
又因为函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，
当m=1时，f(x)=x-6，不符合题意，当m=-3时，f(x)=x2，符合题意.
综上，m=-3.
(2) x∈[1，2]，ax2-3x+2>0恒成立，
即 x∈[1，2]，a>=3·-2恒成立.
令t=∈，g(t)=-2t2+3t，
则g(t)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以g(t)max=g=，故a>.
所以实数a的取值范围是.
18.(17分)某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出x吨需另外投入可变成本C(x)万元，已知C(x)=通过市场分析，该中药材可以以每吨50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材的年利润(利润=销售额-成本)为L(x)万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元.
(1)求年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：吨)的函数关系式；(8分)
(2)当年产量为多少时，所获年利润最大？最大年利润是多少？(结果精确到整数，参考数据：≈1.41)(9分)
解　(1)当基地产出该中药材40吨时，年成本为(1 600a+49×40+250)万元，
利润为50×40-(1 600a+49×40+250)=190，解得a=-，
当0当50所以L(x)=
(2)当x∈(0，50]时，L(x)=x2+x-250，其图象的对称轴为直线x=-2，则函数在(0，50]上单调递增，故当x=50时，有L(x)max=425；
当x∈(50，100]时，L(x)=-x-+620=-+620=620.5-≤620.5-120≈451，当且仅当=，即x=60-≈84时等号成立，此时有L(x)max=451，
因为425<451，所以当年产量为84吨时，所获年利润最大，最大年利润是451万元.
19.(17分)已知　　　　，且函数g(x)=.
①函数f(x)=x2+(2-a)x+4在定义域[b-1，b+1]上为偶函数；
②函数f(x)=ax+b(a>0)在[1，2]上的值域为[2，4].
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a，b的值，并解答本题.
(1)判断g(x)的奇偶性，并证明你的结论；(8分)
(2)设h(x)=-x-2c，若对任意的x1∈R，总存在x2∈[-2，2]，使得g(x1)=h(x2)成立，求实数c的取值范围.(9分)
解　选择①.
由f(x)=x2+(2-a)x+4在[b-1，b+1]上是偶函数，得2-a=0，且(b-1)+(b+1)=0，
解得a=2，b=0.
所以g(x)=.
选择②.
当a>0时，f(x)=ax+b在[1，2]上单调递增，则解得
所以g(x)=.
(1)g(x)为奇函数.证明如下：g(x)的定义域为R，
因为g(-x)==-g(x)，所以g(x)为奇函数.
(2)当x>0时，g(x)=，因为2x+≥2=4，当且仅当2x=，即x=1时等号成立，所以0当x<0时，因为g(x)为奇函数，所以-≤g(x)<0；
当x=0时，g(0)=0，
综上，g(x)的值域为.
因为h(x)=-x-2c在[-2，2]上单调递减，所以函数h(x)的值域是[-2-2c，2-2c].
因为对任意的x1∈R，总存在x2∈[-2，2]，
使得g(x1)=h(x2)成立，
所以 [-2-2c，2-2c]，
所以解得-≤c≤.
所以实数c的取值范围是.

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