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周测13　指数与指数函数
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.化简：+等于(　　)
A.0 B.2π-8
C.2π-8或0 D.8-2π
答案　A
解析　因为π<4，所以π-4<0，
故+=|π-4|+π-4=4-π+π-4=0.
2.函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(-2)等于(　　)
A. B.
C. D.9
答案　D
解析　由a3=，解得a=，所以f(-2)==9.
3.函数y=|2x-2|的图象大致为(　　)
答案　B
解析　∵y=|2x-2|=∴当x=1时，y=0；当x≠1时，y>0.
4.已知a=20.2，b=0.40.2，c=0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>c>a
答案　A
解析　因为函数y=0.4x为减函数，所以1=0.40>0.40.2>0.40.6，又因为a=20.2>20=1，
所以a>b>c.
5.已知函数f(x)=x+，g(x)=2x+a，若 x1∈， x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.[-3，+∞) D.[1，+∞)
答案　C
解析　若 x1∈， x2∈[2，3]，
使得f(x1)≤g(x2)，
故只需f(x)min≤g(x)max，
其中f(x)=x+在上单调递减，
故f(x)min=f(1)=1+4=5，
g(x)=2x+a在[2，3]上单调递增，
故g(x)max=g(3)=8+a，
所以5≤8+a，解得a≥-3，
即实数a的取值范围是[-3，+∞).
6.已知函数f(x)=3x-+2，若f(a2)+f(a-2)>4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1)
B.(-∞，-2)∪(1，+∞)
C.(-2，1)
D.(-1，2)
答案　B
解析　令g(x)=f(x)-2=3x-(x∈R)，
则g(-x)=3-x-=-3x=-g(x)，所以g(x)是奇函数.
又y=3x，y=-都是增函数，所以g(x)在R上单调递增.
所以f(a2)+f(a-2)>4可化为g(a2)+g(a-2)>0，故g(a2)>g(2-a)，
所以a2+a-2>0，解得a<-2或a>1.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列选项正确的是(　　)
A.函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax是指数函数，则a=
B.指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0，+∞)
C.函数y=ax+1(a>0，且a≠1)的图象可以由f(x)=ax的图象向右平移一个单位长度得到
D.函数y=a2x+3-1(a>0，且a≠1)恒过定点
答案　ABD
解析　对于A，2a2-3a+2=1且a>0，a≠1，则a=，A正确；
对于B，不论01，f(x)的值域都为(0，+∞)，B正确；
对于C，f(x)=ax的图象向左平移一个单位长度得到y=ax+1的图象，C错误；
对于D，令2x+3=0，则x=-，y=0，所以函数y=a2x+3-1(a>0，且a≠1)恒过定点，D正确.
8.已知2a=3b=6，则a，b满足的关系有(　　)
A.a+b=ab
B.a+b>4
C.(a-1)2+(b-1)2<2
D.a2+b2>8
答案　ABD
解析　∵2a=3b=6，
∴(2a)b=6b，(3b)a=6a，
∴2ab=6b，3ab=6a，
∴2ab·3ab=6b·6a，
∴6ab=6a+b，
∴ab=a+b，故A正确；
由题意知a>0，b>0，
∵ab=a+b≥2，且易知a≠b，
∴ab>2，
∴a+b=ab>4，故B正确；
∵a2+b2>2ab>8，故D正确；
∵(a-1)2+(b-1)2=a2+b2-2(a+b)+2>2ab-2(a+b)+2=2，故C错误.
9.已知函数f(x)=a∈R，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.若f(x)在定义域上是增函数，则a<1
C.若f(x)的值域为R，则a>1
D.当a≤1时，若f(x)+f(3x+4)>0，则x∈(0，+∞)
答案　AC
解析　当x<0时，-x>0，f(-x)=2-x-a=-(-2-x+a)=-f(x)；
当x>0时，-x<0，f(-x)=-2x+a=-(2x-a)=-f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，故A正确；
若f(x)在定义域上是增函数，则-2-0+a≤20-a，即a≤1，故B不正确；
当x<0时，f(x)=-2-x+a在区间(-∞，0)上单调递增，此时值域为(-∞，a-1)，
当x>0时，f(x)=2x-a在区间(0，+∞)上单调递增，此时值域为(1-a，+∞).
要使f(x)的值域为R，则a-1>1-a，即a>1，故C正确；
当a≤1时，函数f(x)在定义域上是增函数，
由f(x)+f(3x+4)>0，得f(x)>f(-3x-4)，则
解得x∈(-1，0)∪(0，+∞)，故D不正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=n-mx的图象不经过第　　　　象限.
答案　三
解析　易知f(x)=ax-2+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2，2)，
∴m=n=2，∴g(x)=2-2x，
∴g(x)为减函数，且过点(0，1)，
∴函数g(x)的图象不经过第三象限.
11.不等式<的解集为　　　　.
答案　(-3，2)
解析　因为函数y=2x在R上单调递增，又<，所以x2-2x-3<-3(x-1)，
即x2+x-6<0，解得-312.函数f(x)=(a>1)，若f(x0)=1，则x0=　　　　，f+f+…+f=　　　　.
答案　　2 024
解析　由题意得f(x0)==1，a>1，
则=，解得x0=.
因为f(1-x)===，
所以f(x)+f(1-x)=+=2，
故f+f+…+f=1 012×=2 024.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)对下列式子化简求值.
(1)×(×)6-4×+2 0250；(6分)
(2)已知-=2(a>0且a≠1)，求的值.(6分)
解　(1)×-4×+2 0250
=×23×32-4×+1
=36-9+1
=28.
(2)∵-=2，
∴ax+a-x=+2=6，
∴a2x+a-2x=-2=34，
∴=.
14.(12分)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值；(4分)
(2)判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性的定义证明；(4分)
(3)若f(m+5)+f(3m-m2)>0，求实数m的取值范围.(4分)
解　(1)由题意，函数f(x)的定义域为R，则f(0)==0，解得a=1，
当a=1时，f(x)=，定义域为R，
且f(-x)==-=-f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，满足题意.
故实数a=1.
(2)由(1)可知f(x)==1-，f(x)是增函数，证明如下：
不妨设x1则f(x1)-f(x2)=1--
=-2
=，
因为x10，
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)是增函数.
(3)由题意f(m+5)+f(3m-m2)>0 f(m+5)>-f(3m-m2)=f(m2-3m) m+5>m2-3m m2-4m-5<0 (m-5)(m+1)<0 -1所以实数m的取值范围为(-1，5).
15.(13分)已知函数f(x)=a2x-2ax-1，其中a>0且a≠1.
(1)若a=2，求f(x)的最小值；(5分)
(2)若f(x)在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值.(8分)
解　(1)当a=2时，f(x)=22x-2×2x-1.
令t=2x，t>0.
则f(t)=t2-2t-1=(t-1)2-2，当t=1，即x=0时，函数f(x)取得最小值，其最小值为-2.
(2)令u=ax，则f(u)=u2-2u-1，
①当0又根据二次函数的性质可知，当a≤u≤1时，f(u)=u2-2u-1单调递减，
所以f(u)=u2-2u-1在u=a处取得最大值f(a)=a2-2a-1，
由已知可得，a2-2a-1=2，解得a=-1或a=3，
因为0②当a>1时，可知u=ax在[0，1]上单调递增，所以1≤u≤a，
又根据二次函数的性质可知，当1≤u≤a时，f(u)=u2-2u-1单调递增，
所以f(u)=u2-2u-1在u=a处取得最大值f(a)=a2-2a-1，
由已知可得，a2-2a-1=2，解得a=3或a=-1(舍去)，所以a的值为3.
综上所述，a的值为3.

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