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周测14　对数与对数函数
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.设alog29=3，则9-a等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　alog29=3，即9a=23，所以9-a=.
2.若log23×log36m×log96=，则实数m的值为(　　)
A.4 B.6
C.9 D.12
答案　A
解析　因为log23×log36m×log96=××=××==log2m=，所以log2m=2，解得m=4.
3.成昆复线是国家西部大开发重点工程建设项目，是“一带一路”建设中连接南亚、东南亚国际贸易口岸的重要通道.线路并行于既有成昆铁路，全长约860公里，设计时速160公里，于2022年12月26日正式开通运营.西昌到成都的列车运行时不仅速度比以前列车快而且噪声更小.我们用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L=10lg.若提速前列车的声强级是100 dB，提速后列车的声强级是50 dB，则提速前列车的声强是提速后列车声强的(　　)
A.106倍 B.105倍
C.104倍 D.103倍
答案　B
解析　设提速前列车的声强为I1，提速后列车的声强为I2，
由题意知，100=10lg，
50=10lg，
得lg=10，lg=5，
则lg-lg=10-5=5，
即lg=lg=5，
解得=105.
4.在同一平面直角坐标系中，函数y=，y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　当01时，函数y=过定点(0，1)且为减函数，函数y=loga过定点且为增函数，各选项均不符合.
5.函数f(x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1，+∞) B.(-∞，-1]
C. D.
答案　C
解析　因为函数y=ex+ln x在[1，+∞)上单调递增，
所以若要f(x)在R上单调递增，
则
解得-≤a≤-1.
6.设f(x)=log2是奇函数，若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)的值域为(　　)
A.∪
B.
C.(-∞，-2)∪(2，+∞)
D.(-2，2)
答案　A
解析　因为f(x)=log2，所以+1=>0，
可得x<-a-1或x>-a，
所以f(x)的定义域为{x|x<-a-1或x>-a}，
因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以-a-1=a，解得a=-，
所以f(x)的定义域为∪，
因为函数g(x)的图象与函数f(x)的图象关于直线y=x对称，
所以g(x)与f(x)互为反函数，
故g(x)的值域即为f(x)的定义域∪.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.若实数a，b满足log3aA.3a<3b B.>1
C.ln(b-a)>0 D.loga3答案　AB
解析　因为函数y=log3x为(0，+∞)上的增函数，由log3aa>0.
对于A选项，函数y=3x为R上的增函数，则3a<3b，故A正确；
对于B选项，函数y=为R上的减函数，且a-b<0，则>=1，故B正确；
对于C选项，b-a>0，但b-a与1的大小关系不确定，故ln(b-a)与0的大小关系不确定，故C错误；
对于D选项，取a=3，b=9，则log33=1>=log93，即loga3>logb3，故D错误.
8.已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在区间(-2，1)上单调递增
B.f(x)在区间(1，+∞)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)的图象关于点(1，0)对称
答案　AC
解析　函数f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(x+2)(4-x)=ln(-x2+2x+8)(-2令t=-x2+2x+8，则函数在(-2，1)上单调递增，在[1，4)上单调递减，
又y=ln t是增函数，
所以f(x)在区间(-2，1)上单调递增，在[1，4)上单调递减，
又t=-x2+2x+8的图象关于直线x=1对称，
所以f(x)的图象关于直线x=1对称.
9.已知函数f(x)=ln(x2-mx+m)，则下列说法正确的是(　　)
A.若f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围为(0，4)
B.若f(x)的最小值为ln 3-2ln 2，则m=3
C.若f(x)在[2，+∞)上单调递增，则实数m的值可以为4
D.若m=0，则 x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥
答案　AD
解析　若f(x)=ln(x2-mx+m)的定义域为R，则x2-mx+m>0在R上恒成立，
所以Δ=(-m)2-4m<0，解得0若f(x)的最小值为ln 3-2ln 2=ln，
即y=x2-mx+m=+m-的最小值为，
则有m-=，解得m=1或m=3，故B错误；
若f(x)在[2，+∞)上单调递增，
则y=x2-mx+m=+m-在[2，+∞)上也单调递增，
即解得m<4，故C错误；
当m=0时，f(x)=ln x2=2ln|x|，其图象如图，
根据图象可知在(0，+∞)上任意取两点x1，x2(x1≠x2)，
都有f>，
若x1=x2，则f=f(x1)=，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知f(x)=则f=　　　　.
答案　
解析　因为f(x)=
所以f=+=+=+=1，
所以f=f(1)=1×log4(1+1)=.
11.已知函数f(x)=loga(x+2)-2，a>0且a≠1的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx-n的图象上，其中m，n>0，则+的最小值为　　　　.
答案　2
解析　∵函数f(x)=loga(x+2)-2，a>0且a≠1的图象恒过定点A，
∴当x=-1时，f(x)=-2，∴A(-1，-2)，又点A在一次函数y=mx-n的图象上，
∴m+n=2，由题意得m，n>0，
∴+=(m+n)=≥=2，当且仅当n=m=1时取“=”.
即+的最小值为2.
12.已知函数f(x)=log3(x2-1)，g(x)=x2-2x+a，若对于任意x1∈[2，+∞)，存在x2∈，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，2]
解析　由题意得f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，对于任意x1∈[2，+∞)，存在x2∈，使f(x1)≥g(x2)等价于f(x)在[2，+∞)上的最小值大于或等于g(x)在上的最小值，
当x∈[2，+∞)时，函数f(x)=log3(x2-1)单调递增，
可得f(x)min=f(2)=1，
∵g(x)=x2-2x+a的图象的对称轴为直线x=1，
∴当x∈时，g(x)min=g(1)=a-1，
∴1≥a-1，解得a≤2.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)(1)求值：2-×log2；(5分)
(2)设4a=5b=m且+=1，求m的值.(7分)
解　(1)2-×log2=-3×(-3)=9+9=18.
(2)由4a=5b=m，可得a=log4m，b=log5m，
所以+=logm4+3logm5=logm(4×53)=1，解得m=4×53=500.
14.(12分)已知f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(x+4)+m.
(1)求m的值并求f(x)在(-∞，0)上的解析式；(6分)
(2)若f(a)>1，求a的取值范围.(6分)
解　 (1)由题意可知f(0)=-2+m=0，即m=2.
令x<0，则-x>0，f(-x)=(-x+4)+2，
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
所以-f(x)=(-x+4)+2，
故f(x)=-(-x+4)-2，
故f(x)在(-∞，0)上的解析式为
f(x)=-(-x+4)-2.
(2)由函数性质可知f(x)在[0，+∞)上单调递减，则f(x)在R上单调递减.
又因为f(-4)=-8-2=1，所以f(a)>1，即f(a)>f(-4)，
所以当a<-4时，f(a)>1，所以a的取值范围为(-∞，-4).
15.(13分)已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；(5分)
(2)是否存在实数m，使得不等式f(log2m)解　(1)由得-2因为函数的定义域关于原点对称，且f(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(2)①当a>1时，f(x)在(-2，2)上单调递增，假设存在实数m，使得不等式f(log2m)解得②当0解得2综上，当a>1时，存在

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