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周测15　指数函数、对数函数及综合应用
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.函数f(x)=与g(x)=-log4x的大致图象是(　　)
答案　A
解析　因为f(x)=在定义域R上单调递减，
又g(x)=-log4x=lox=lox，
所以g(x)在定义域(0，+∞)上单调递减，故符合条件的只有A.
2.已知a=log23，b=0.80.1，c=log35，则(　　)
A.c>a>b B.b>c>a
C.a>b>c D.a>c>b
答案　D
解析　因为log23>log22=，
又0.80.1<0.80=1，而1所以log23>>log35>1>0.80.1，
所以a>c>b.
3.函数f(x)=log2(2x)·log2(4x)的最小值为(　　)
A.1 B.
C.- D.-
答案　D
解析　由题意得f(x)=(log2x+1)(log2x+2)=(log2x)2+3log2x+2=-，
当log2x=-时，f(x)取得最小值，其最小值为-.
4.若函数f(x)=ln(ax-2)在(1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，+∞) B.(2，+∞)
C.(0，2] D.[2，+∞)
答案　D
解析　在函数f(x)=ln(ax-2)中，令u=ax-2，函数y=ln u在(0，+∞)上单调递增，
而函数f(x)=ln(ax-2)在(1，+∞)上单调递增，则函数u=ax-2在(1，+∞)上单调递增，且 x>1，ax-2>0，因此解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞).
5.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：天)河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)=+(m0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是(参考数据：ln 5≈1.61，ln 6≈1.79)(　　)
A.1个月 B.3个月
C.半年 D.1年
答案　B
解析　由题意可知，r=0，=50，
故m(t)=m0=m0，
则=，即-t=-ln 6 t=50ln 6≈50×1.79=89.5，
所以t≈90，则要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是90天，即3个月.
6.已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=-m，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)min，
因为f(x)=ln(x2+1)在[0，3]上单调递增，所以f(x)min=f(0)=0，
又g(x)=-m在[1，2]上单调递减，所以g(x)min=g(2)=-m，
所以f(x)min=0≥g(x)min=-m，解得m≥.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.设函数f(x)=a-|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)=4，则(　　)
A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2)
C.f(-2)>f(2) D.f(-4)>f(3)
答案　AD
解析　因为f(x)=a-|x|，f(2)=4，
所以a-2=4，解得a=(负值舍去)，则f(x)==2|x|，
易得f(x)是偶函数，且在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
故f(-2)>f(-1)，f(-2)=f(2)，f(-4)=f(4)>f(3)，故A，D正确，B，C错误.
8.已知函数y=logax与y=logb(-x)的图象关于坐标原点对称，则函数y=ax与y=logbx的大致图象可能是(　　)
答案　AC
解析　在函数y=logax的图象上任取点(x，y)，则点(-x，-y)在y=logb(-x)的图象上，
即于是logbx=-logax=lox对任意x>0成立，则b=，
当01，则y=logbx是(0，+∞)上的增函数，C符合，D不符合；
当a>1时，函数y=ax是R上的增函数，09.已知函数f(x)=ln(+x)+x+1.则下列说法正确的是(　　)
A.f(lg 3)+f=2
B.函数f(x)的图象关于点(0，1)对称
C.对定义域内的任意两个不相等的实数x1，x2，<0恒成立
D.若实数a，b满足f(a)+f(b)>2，则a+b>0
答案　ABD
解析　对于A选项，对任意的x∈R，+x>|x|+x≥0，
所以函数f(x)=ln(+x)+x+1的定义域为R，
又因为f(-x)+f(x)=[ln(-x)+(-x)+1]+ln(+x)+x+1
=ln(x2+1-x2)+2=2，
所以f(lg 3)+f=f(lg 3)+f(-lg 3)=2，故A正确；
对于B选项，由于函数f(x)满足f(-x)+f(x)=2，
所以任意点(x，f(x))和点(-x，f(-x))关于点(0，1)对称，
故函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，故B正确；
对于C选项，对于函数h(x)=ln(+x)，+x>|x|+x≥0，
得该函数的定义域为R，
h(-x)+h(x)=ln(-x)+ln(+x)=ln(x2+1-x2)=0，
即h(-x)=-h(x)，所以函数h(x)为奇函数，
当x≥0时，函数u=+x单调递增，函数y=ln u单调递增，
所以函数h(x)在[0，+∞)上单调递增，故函数h(x)在(-∞，0]上也单调递增，
因为函数h(x)在R上连续，故函数h(x)在R上为增函数，
又因为函数y=x+1在R上为增函数，故函数f(x)在R上为增函数，故C不正确；
对于D选项，由f(-x)+f(x)=2，得2-f(x)=f(-x)，
因为实数a，b满足f(a)+f(b)>2，所以f(a)>2-f(b)=f(-b)，
同时函数f(x)在R上为增函数，
可得a>-b，即a+b>0，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.若函数f(x)=lg(-2x)为定义域上的奇函数，则实数a的值为　　　　.
答案　4
解析　因为f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)+f(-x)=lg(-2x)+lg(+2x)=lg(ax2-4x2+1)=0，所以ax2-4x2+1=1恒成立，解得a=4.
11.已知函数f(x)=是定义域R上的增函数，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　[4，8)
解析　因为函数f(x)=是定义域R上的增函数，所以
解得4≤a<8.
12.已知函数f(x)=若存在x1答案　[1，+∞)
解析　根据题意作f(x)的图象如图所示，
若存在x1所以x2-log2(x1+1)=log2-log2(x1+1)=log2=log2，因为-1四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)，并且f(3)=1.
(1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域；(4分)
(2)若不等式f(t·4x)≥f(2x-t)对任意x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围.(8分)
解　 (1)∵f(3)=loga3=1，解得a=3，
∴f(x)=log3x，定义域为(0，+∞).
(2)∵f(x)=log3x，∴f(x)是增函数，
又f(t·4x)≥f(2x-t)对任意x∈[1，2]恒成立，∴t·4x≥2x-t>0，
∴t(4x+1)≥2x，∴t≥=，
令y=2x+，则函数在[1，2]上单调递增，
∴ymin=2+=，∴t≥=，
又∵2x-t>0，x∈[1，2]，∴t<=2.
综上，实数t的取值范围是.
14.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a，b的值；(4分)
(2)用定义证明f(x)为减函数；(4分)
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.(4分)
(1)解　∵f(x)为定义域R上的奇函数，∴f(0)=0，可得b=1，
又∵f(-1)=-f(1)，∴=-，解得a=1.
经检验当a=1且b=1时，f(x)=满足f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数.
∴a=1，b=1.
(2)证明　由(1)得f(x)==-1+，
任取实数x1，x2，且x1则f(x1)-f(x2)=-=，
∵x10，
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)为减函数.
(3)解　根据(1)(2)知，函数f(x)是奇函数且为减函数.
∴不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，即f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k)，
即t2-2t>-2t2+k对任意的t∈R都成立，
∴k<3t2-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t2-2t=3-，当t=时取得最小值-，
∴k<-，即k的取值范围是.
15.(13分)已知函数f(x)=2x+2-x，g(x)=+log2(1+2-x).
(1)判断函数g(x)的奇偶性，并证明你的结论；(5分)
(2)若g(x)≤log2f(x)+a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.(8分)
解　(1)g(x)为定义域R上的偶函数.证明如下：
对任意的x∈R，1+2-x>0，故函数g(x)的定义域为R，
g(x)=+log2=+log2=+log2(2x+1)-log22x=-+log2(2x+1)=g(-x)，
因此，函数g(x)为定义域R上的偶函数.
(2)∵f(x)=2x+2-x，g(x)=+log2(1+2-x)，∴g(x)≤log2f(x)+a对一切实数x恒成立，
即+log2(1+2-x)≤log2(2x+2-x)+a对一切实数x恒成立，
整理得，x+2log2(1+2-x)≤log2(2x+2-x)+2a，
即2a≥log22x+log2-log2(2x+2-x)=log2，
即2a≥log2对一切实数x恒成立，
而2x+2-x=2x+≥2=2，
当且仅当2x=1，即x=0时取等号，
∴log2∈(0，1]，
∴2a≥1，即a≥，即实数a的取值范围为.

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