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周测2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.下列命题中是存在量词命题的是(　　)
A.所有能被3整除的整数都是奇数
B.每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
C.有的三角形是等边三角形
D.任意两个等边三角形都相似
答案　C
解析　对于A，含有量词“所有”，为全称量词命题，故A错误；
对于B，含有量词“每一个”，为全称量词命题，故B错误；
对于C，含有量词“有的”，为存在量词命题，故C正确；
对于D，含有量词“任意”，为全称量词命题，故D错误.
2.命题“ x∈Q，x+是无理数”的否定是(　　)
A. x∈Q，x+不是无理数
B. x∈Q，x+是无理数
C. x Q，x+不是无理数
D. x Q，x+是无理数
答案　A
解析　命题“ x∈Q，x+是无理数”为全称量词命题，
该命题的否定为“ x∈Q，x+不是无理数”.
3.“|a|>|b|”是“a>b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　D
解析　设a=-2，b=0，此时满足|a|>|b|，但不满足a>b，充分性不成立，
设a=2，b=-3，此时满足a>b，但不满足|a|>|b|，必要性不成立，
故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件.
4.下列命题中为真命题的是(　　)
A. x∈R，x2>0
B. x，y∈Z，2x+4y=3
C. a>b，a2>b2
D. a∈ RQ，a3∈Q
答案　D
解析　对于A，当x=0时，x2=0，故A错误；
对于B，当x，y∈Z时，2x+4y为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，故B错误；
对于C，取a=0，b=-2满足a>b，而a2>b2不成立，故C错误；
对于D，取a=∈ RQ，则a3=2∈Q，故D正确.
5.下列条件中，是“-3A.-3≤x≤4 B.-3≤x≤3
C.0答案　C
解析　因为{x|0而-36.设a，b∈R，集合A={a，a2+1}，B={b，b2+1}.则“A=B”是“a=b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为A={a，a2+1}，B={b，b2+1}，
当A=B时，则有或
若显然解得a=b；
若则(b2+1)2+1=b，整理得(b2-b+1)(b2+b+2)=0，
因为b2-b+1=+>0，b2+b+2=+>0，
所以(b2-b+1)(b2+b+2)=0无解，
综上，a=b，即充分性成立；
当a=b时，显然A=B，即必要性成立，
所以“A=B”是“a=b”的充要条件.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A. x∈R，x2+2x+1≥0
B. x∈N，2x+1为奇数
C.所有菱形的四条边都相等
D.任何实数都有算术平方根
答案　AC
解析　对于A， x∈R，x2+2x+1=(x+1)2≥0恒成立，该命题是全称量词命题，且是真命题，故A是；
对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，故B不是；
对于C，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C是；
对于D，该命题是全称量词命题，且是假命题，故D不是.
8.下列四个命题中为真命题的是(　　)
A.“x>2”是“x<3”的既不充分也不必要条件
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0
D.若集合A B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件
答案　AC
解析　x>2x<3且x<3x>2，故A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；
一元二次方程有实根，则Δ≥0，反之亦然，故C正确；
当集合A=B时，x∈A是x∈B的充要条件，故D不正确.
9.用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B=已知集合A={x|x2+x=0}，B={x∈R|(x2+ax)(x2+ax+1)=0}，则下面各结论正确的是(　　)
A. a∈R，C(B)=3
B. a∈R，C(B)≥2
C.“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件
D.若S={a∈R|A*B=1}，则C(S)=4
答案　AC
解析　当a=2时，B={0，-2，-1}，此时C(B)=3，故A正确；
当a=0时，B={0}，此时C(B)=1，故B错误；
当a=0时，B={0}，则C(B)=1，而A={0，-1}，C(A)=2，因此A*B=1，
当A*B=1时，而C(A)=2，则C(B)=1或C(B)=3，若C(B)=1，满足解得a=0；
若C(B)=3，则方程x2+ax=0的两个根x1=0，x2=-a都不是方程x2+ax+1=0的根，
且解得a=±2，因此“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件，故C正确；
由A*B=1，而C(A)=2，得C(B)=1或C(B)3，由C选项分析知，a=0或a=±2，
因此S={0，2，-2}，C(S)=3，故D错误.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.已知q是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则 s是q的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　充要
解析　由题意可得q s r q，即q s，
所以s是q的充要条件.
11.若命题“ x∈R，x2-2x+m=0”为假命题，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　{m|m>1}
解析　由题意可得“ x∈R，x2-2x+m≠0”为真命题，
即方程x2-2x+m=0无实数根，所以Δ=4-4m<0，解得m>1，
即实数m的取值范围是{m|m>1}.
12.方程2x2-5x+k=0有两个不相等的正实数根的充要条件是　　　　.
答案　0解析　因为方程2x2-5x+k=0有两个不相等的正实数根，
且x1+x2=>0，
所以即
解得0所以方程2x2-5x+k=0有两个不相等的正实数根的充要条件是0四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)写出下列命题的否定：
(1)一切分数都是有理数；(3分)
(2)正方形都是菱形；(3分)
(3) x∈R，x2-2=0；(3分)
(4) x∈R，x2+2x+2≤0.(3分)
解　(1)“一切分数都是有理数”的否定为存在一个分数不是有理数.
(2)“正方形都是菱形”的否定为存在一个正方形不是菱形.
(3)“ x∈R，x2-2=0”的否定为 x∈R，x2-2≠0.
(4)“ x∈R，x2+2x+2≤0”的否定为 x∈R，x2+2x+2>0.
14.(12分)已知集合A={x|2≤x≤7}，B={x|-3m+4≤x≤2m-1}，且B≠ .
(1)若p： x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围；(6分)
(2)若q： x∈B，x∈A是真命题，求实数m的取值范围.(6分)
解　(1)由于p： x∈A，x∈B是真命题，所以A B.
而B≠ ，所以解得m≥4，故m的取值范围为{m|m≥4}.
(2)因为B≠ ，所以-3m+4≤2m-1，解得m≥1.
由q为真命题，得A∩B≠ ，
当A∩B= 时，-3m+4>7或2m-1<2，解得m<.
因为m≥1，所以当A∩B= 时，1≤m<，
所以当A∩B≠ 时，m≥.故m的取值范围为.
15.(13分)已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明　①必要性：因为a+b=1，
所以a+b-1=0.
所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)
=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
②充分性：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0，
又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为a2-ab+b2=+b2>0.
所以a+b-1=0，即a+b=1.
综上可得，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

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