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周测4　不等式的性质与基本不等式
(时间：75分钟　分值：100分)
一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是(　　)
A.a>b
B.aC.a≥b
D.a，b的大小关系不确定
答案　B
解析　因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0，所以a2.若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B.a2>b2
C.a|c|>b|c| D.>
答案　D
解析　若a>0>b，则>，故A错误；
取a=1，b=-2，则a2若c=0，则a|c|=b|c|，故C错误；
因为c2+1≥1，所以>0，又a>b，所以>，故D正确.
3.已知0A.2C.2答案　D
解析　因为-1又04.已知函数y=x+(x>2)，则此函数的最小值等于(　　)
A. B.
C.4 D.6
答案　D
解析　∵x>2，∴x-2>0，
∴y=x+=x-2++2≥
2+2=6(当且仅当x-2=，即x=4时取等号)，
∴y=x+(x>2)的最小值为6.
5.今年某地因天气原因导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/千克、b元/千克(a≠b)，王阿姨每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8千克白菜，王阿姨和李阿姨两周购买白菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为(　　)
A.m1=m2 B.m1>m2
C.m1答案　C
解析　由题意可得，a>0，b>0，a≠b，
m1==，m2==，
∵m1-m2=-==<0，
∴m16.已知正实数x，y满足(x-1)(y-2)=2，不等式3x+2y>m恒成立.则实数m的取值范围是(　　)
A.m<4+6 B.m>6+4
C.m<7+4 D.m>8+4
答案　C
解析　因为(x-1)(y-2)=2，x>0，y>0，
所以xy=2x+y，即+=1，
所以由基本不等式可得3x+2y=(3x+2y)=7++≥7+2=7+4，
当且仅当
即时等号成立，
综上所述，3x+2y的最小值为7+4，
因为不等式3x+2y>m恒成立，
所以实数m的取值范围是m<7+4.
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分)
7.设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式不正确的有(　　)
A.c2C.ac答案　BCD
解析　因为a>b>0>c>d，
所以a>b>0，0>c>d，
由不等式的性质可得c2取a=2，b=1，c=-1，d=-2，
则a-c=3，b-d=3，
所以a-c=b-d，故B错误；
取a=2，b=1，c=-1，d=-2，
则ac=-2，bd=-2，
所以ac=bd，故C错误；
因为a>b，c>d，所以a+c>b+d，但只有(a+c)(b+d)>0时，才有<，故D错误.
8.若正实数a，b满足a+b=2，则下列说法正确的是(　　)
A.ab有最大值1
B.+有最大值
C.+有最小值2
D.a2+b2有最大值
答案　AC
解析　ab≤=1，当且仅当a=b=1时等号成立，故A正确；
=a+b+2≤a+b+a+b=4，故+≤2，当且仅当a=b=1时等号成立，故B错误；
+=(a+b)=1+≥1+=2，当且仅当a=b=1时等号成立.所以+有最小值2，故C正确；
(a+b)2=4 a2+2ab+b2=4≤a2+(a2+b2)+b2，即a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时等号成立，故a2+b2有最小值2，故D错误.
9.已知正实数x，y满足x+2y=1，则(　　)
A.≤ B.+>
C.y+2x≥9xy D.x2+y2<1
答案　ACD
解析　对A，由x+2y=1及基本不等式得x+2y≥2，即2≤1，
所以≤，当且仅当x=2y=时等号成立，故A正确；
对B，(+)2=x+2y+2≤1+1=2，当且仅当x=2y=时等号成立，
所以+≤，故B错误；
对C，因为(x+2y)=5++≥5+2=9，当且仅当=，即x=y=时等号成立，
所以+≥9，即y+2x≥9xy，故C正确；
对D，x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1，其中y∈，所以x2+y2<1，故D正确.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
10.能够说明“设a，b，c是任意实数.若a答案　4，5，6(答案不唯一)
解析　取a=4，b=5，c=6，可知满足ac，
故a+b11.已知实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，则2x+y的最小值是　　　　.
答案　
解析　因为实数x，y满足3xy+y2=1，y>0，
所以x=，
则2x+y=+y=+
≥2=，
当且仅当=，即y=时，等号成立，
所以2x+y的最小值是.
12.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F在以AB为直径的半圆上，O为圆心，点C在半径OB上(不与O点重合)，且OF⊥AB.设AC=a，BC=b，则OC=　　　　　　(用a，b表示)，由FC>OF可以得出的关于a，b的不等式为　　　　　　　.
答案　　>(也可以写作>)
解析　AB=AC+BC=a+b，OB=AB=，OC=OB-BC=-b=，
OF=AB=，FC===，
由FC>OF可得>，即>.
四、解答题(本题共3小题，共37分)
13.(12分)(1)已知a>b>0，c；(6分)
(2)已知a>b>1，d0.(6分)
证明　(1)∵c-d>0.
∵a>b>0，∴a-c>b-d>0，即>>0.
∵-c>-d>0，∴->-，∴<，即>.
(2)由a>b>1，则a-1>0，b-1>0，
故(a-1)(b-1)>0，
由d故(c+2)(d+2)>0，
∴(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0，得证.
14.(12分)求下列函数的最值.
(1)若正数x，y满足x+3y=5xy，求3x+4y的最小值；(6分)
(2)求函数y=(x>1)的最小值.(6分)
解　(1)因为x+3y=5xy，所以+=5，
因此3x+4y=(3x+4y)=≥=5，
当且仅当=且+=5，即x=1，y=时，等号成立，
所以3x+4y的最小值为5.
(2)因为x>1，所以令t=x-1(t>0)，则x=t+1，
因此y====t++2≥2+2=2+2，
当且仅当t=，即t=时，等号成立，即当x=t+1=+1时，等号成立，
所以y=的最小值为2+2.
15.(13分)第33届奥运会于2024年7月26日—8月11日在巴黎举行，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(5分)
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？(8分)
解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15-0.1×100=5(万套)，
供货单价为50+=52(元)，
总利润为5×(100-52)=240(万元).
所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15-0.1x)万套，供货单价为
元，
单套利润为x-50-=x-50-，
因为15-0.1x>0，所以0所以单套利润为
y=x-50-
=-+100
≤100-2=80，
当且仅当150-x=10，即x=140时取等号.
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.

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