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13.3.2 三角形的外角
基础巩固提优
1.(2025·福建福州期末)如图，在△ABC中,∠B=40°,∠C=30°,延长 BA 到点D,则∠CAD 的度数是( ).
A. 50° B. 70° C. 80° D. 110°
2.(2025·北京朝阳区期末)将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠ABC 的度数为（ ）.
A. 75° B. 105° C. 120° D. 135°
3. (2025·江西南昌期末)如图,在△ABC 中,F,E 分别是AB，AC上的点，连接FE 并延长交BC 的延长线于点D,若∠A=45°,∠B=50°,∠D=26°,则∠AED 的度数为 °.
4.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D为边 BC 上一点,点 E 在边 AC 上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=α,试用含α的代数式表示∠CDE 的度数.
思维拓展提优
5. (2025·甘肃张掖期末)如图,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是△ABC 的外角的平分线,若∠ABP = 20°,∠ACP = 50°, 则∠A+∠P=( ).
A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
6.(2024·北京丰台区期中)如图，将一副三角板叠在一起，则图中∠α的度数是（ ）.
A. 50° B. 60° C. 75° D. 85°
7.(2024·北京二中期中)如图,若点 A 在 y 轴上,点 B在x 轴上,∠OAB 的平分线交△OAB 外角∠OBD 的平分线于点 C,则∠C 的度数是( ).
A. 30° B. 45°
C. 50° D. 60°
8. (湖南师大附中自主招生)如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为 度.
9. (2025·山西太原晋源区期末)如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线交AC 于点 D,作∠BAG=∠C,∠ABF 是△ABC 的外角,∠ABF 的平分线交CA 的延长线于点E.
(1)求证:BD⊥BE;
(2)若∠E=20°,求∠AHB 的度数.
10.好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列 4个问题，请你帮她解决.如图,在△ABC 中,∠BAC=48°,点 I是∠ABC,∠ACB 两角的平分线的交点.
(1)填空:∠BIC= ;
(2)若点 D 是两条外角平分线的交点，则∠BDC= ;
(3)若点 E 是内角∠ABC,外角∠ACG 的平分线的交点,试探索:∠BEC 与∠BAC 的数量关系，并说明理由；
(4)在问题(3)的条件下,当∠ACB 等于 度时,CE∥AB.
延伸探究提优
11. (2025·福建厦门思明区期中)我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如:三个内角分别为 105°,60°,15°的三角形是“和谐三角形”.
[概念理解]
如图(1),∠MON=60°,点 A 在边 OM 上,过点 A 作 AB⊥OM 交 ON 于点 B,以 A为端点作射线AD，交线段OB 于点C(点C不与O,B 重合).
(1)∠ABO 的度数为 ,△AOB (填“是”或“不是”)“和谐三角形”；
(2)若∠ACB=84°,试说明:△AOC 是“和谐三角形”；
[应用拓展]
(3)如图(2),点 D 在△ABC 的边AB 上,连接DC,作∠ADC 的平分线交AC 于点E,在DC 上取点F,使∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.若△BCD 是“和谐三角形”,请直接写出∠B 的度数.
13.3.2 三角形的外角
1. B [解析]由题意,得∠CAD 是△ABC 的一个外角,∴∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°.故选B.
2. B [解析]由题意,得∠ADE=45°,∠CDE=30°,∠A=
故选 B.
归纳总结 本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
3. 121 [解析]∵∠ACD 是△ABC 的外角,∠A =45°,∠B=50°,∴∠ACD=∠A+∠B=95°.
∵∠AED 是△ECD 的外角,∠D=26°,
∴∠AED=∠ACD+∠D=121°.
4. ∵∠ADC 是△ABD 的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+α,
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+α-∠CDE.
∵∠AED 是△CDE 的外角,∠B=∠C,
∴∠AED=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE.
∵∠ADE=∠AED,
∴∠B+α-∠CDE=∠B+∠CDE,∴∠CDE= α.
5. C [解析]∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线,CP 是△ABC 的外角的平分线,∠ABP=20°,∠ACP=50°,
∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°, ,
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°.
∴∠A+∠P=90°.故选 C.
6. C[解析]如图,由题意,得∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴AB∥CD,
∴∠AED=∠A=30°,
∴∠α=∠D+∠AED=75°.故选C.
一题多解 本题也可直接利用平行线的“M”模型，直接得出结论.由题意,得AB∥CD,过点 F 作 FG∥AB,
∴FG∥CD,∴∠AFG=∠A=30°,∠DFG=∠D=45°,
7. B [解析]∵∠OAB 的平分线交△OAB 的外角∠OBD 的平分线于点C，
∴∠OAB=2∠BAC,∠OBD=2∠CBD.
∵∠OBD=∠OAB+∠AOB,∠CBD=∠BAC+∠C,
∴∠AOB=2∠C.∵∠AOB=90°,∴∠C=45°.故选 B.
8.180 [解析]如图,连接CE.
根据三角形的外角性质，得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3.
在△DCE 中,∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°,
∴∠D +∠A +∠DCB +∠B+∠AED=180°.
9.(1)∵∠ABC的平分线交AC 于点 D,∠ABF 的平分线交CA 的延长线于点E，
即BD⊥BE.
(2)由(1)知,BD⊥BE,∠CBD=∠DBA,
∴∠DBE=90°.
∵∠E=20°,∴∠BDE=90°-20°=70°,
∴∠C+∠CBD=∠BDE=70°.
∵∠BAG=∠C,∠CBD=∠DBA,
∴∠DBA+∠BAG=70°,
10.(1)114° [解析]∵∠A=48°,
∵点I 是∠ABC,∠ACB 两角的平分线的交点,
(2)66°[解析]由题意,得
理由如下：
设∠ACE=∠ECG=x,∠ABI=∠IBC=y,
则2x=2y+∠BAC①,x=y+∠BEC②,
①÷2-②,得
(4)84 [解析]∵CE∥AB,∴∠ECA=∠BAC=48°.
∵CE 是∠ACG 的平分线,
∴∠ACG=2∠ACE=96°,∴∠ACB=180°-∠ACG=
11.(1)30°不是 [解析]∵AB⊥OM,∴∠OAB=90°,
∴∠ABO=90°-∠MON=30°,∴∠OAB=3∠ABO,
∴△AOB 不是“和谐三角形”.
(2)∵∠ACB 是△AOC 的一个外角,
∴∠ACB=∠O+∠OAC.
又∠O=60°,∠ACB=84°,
∴∠OAC=24°,∠ACO=180°-84°=96°,
∴∠ACO=4∠OAC,∴△AOC 是“和谐三角形”.
(3)∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°,
∴∠EFC=∠ADC,∴AD∥EF,∴∠DEF=∠ADE.
∵∠DEF=∠B,∴∠B=∠ADE,
∴DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD.
∵DE 平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠B=∠BCD.
∵△BCD 是“和谐三角形”,
∴∠BDC=4∠B 或∠B=4∠BDC.
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°,
∴∠B+∠B+4∠B=180°或
∴∠B=30°或∠B=80°.

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