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13.3.1 三角形的内角
基础巩固提优
1. (2025·广东汕头潮阳区期末)在△ABC 中,∠A-∠B=35°,∠C=55°,则∠B 等于( ).
A. 50° B. 55°
C. 45° D. 40°
2. (2024·长沙中考)如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1 的度数为( ).
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
3. (2024·凉山州中考)如图,在△ABC 中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平分线,则∠AEB 的度数是 .
4. (2025·安徽阜阳期中)如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,CD 交边AB 于点E,在边 AE 上取点F,连接DF,使∠1=∠D.
(1)求证:DF∥BC;
(2)当∠A =36°,∠DFE=34°时,求∠2 的度数.
思维拓展提优
5. (2025·河南郑州期末)如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,若∠A=60°,则∠D 的度数为( ).
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°
6.如图，两面镜子AB，BC 的夹角为∠α,当光线经过镜子后反射,∠1=∠2,∠3=∠4.若∠α=70°,则∠β的度数是( ).
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 45°
7. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,DE⊥AC,则图中等于∠A 的角是 .
8.(2025·甘肃兰州天庆实验学校期末)如图，在△ABC中,AD 是边 BC上的高线,AE 平分∠BAC,若∠BAC:∠B:∠C=4:3:2,求∠DAE的度数.
9.燕尾型[模块探究]
如图(1),求证:∠BOC=∠A+∠B+∠C.
[直观应用]
(1)应用上述结论,若图(2)中,∠EOF=α,则∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F 的度数之和等于 .(直接给出结论，不必说明理由)
(2)应用上述结论，求图(3)所示的五角星中，∠A,∠B,∠C,∠D,∠E 的度数之和是多少 证明你的结论.
延伸探究提优
10. (2025·宁夏银川期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”.例如：在△ABC 中，如果∠A=80°,∠B=40°,那么∠A 与∠B 互为“友爱角”,△ABC 为“友爱三角形”.
(1)如图(1),△ABC 是“友爱三角形”,且∠A 与∠B 互为“友爱角”(∠A>∠B),∠ACB=90°.
①求∠A,∠B 的度数.
②若CD 是△ABC中AB 边上的高,则△ACD,△BCD 都是“友爱三角形”吗 为什么
(2)如图(2),在△ABC 中,∠ACB=70°,∠A=66°,D 是边AB 上一点(不与点A,B重合),连接 CD,若△ACD 是“友爱三角形”，直接写出∠ACD 的度数.
中考提分新题
11. (2024·陕西中考)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是边 BC 上的高,E 是 BC 的中点,连接AE，则图中的直角三角形共有（ ）.
A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
1. C [解析]∵在△ABC 中,∠C=55°,
∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°①.
∵∠A-∠B=35°②,
∴①-②,得2∠B=90°,解得∠B=45°.故选 C.
2. C [解析]∵∠BAC=60°,∠B=50°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-50°=70°.
∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70°.故选C.
3.100° [解析]∵CD 是边AB 上的高,
∴∠CDB=∠CDA=90°.
∵∠BCD=30°,∠ACB=80°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°,∠CBD=90°-∠BCD=60°,∴∠CAB=90°-∠ACD=40°.
∵AE 是∠CAB 的平分线,∴
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°.
4.(1)∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠1.
∵∠1=∠D,∴∠DCB=∠D,∴DF∥BC.
(2)∵DF∥BC,∠DFE=34°,∴∠B=∠DFE=34°.
在△ABC 中,∠A=36°,∠B=34°,
∴∠ACB=180°-36°-34°=110°.
∵CD 平分∠
∴∠2=180°-36°-55°=89°.
5. B [解析]∵∠A=60°,
∴∠ACB+∠ABC=180°-60°=120°.
∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB,
60°,
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-60°=120°.
故选 B.
6. C [解析]如图.
由题意,得∠5=180°-(∠1+∠2) = 180°-2∠2,∠6 =180°-(∠3+∠4)=180°-2∠3.
∵∠α=70°,
∴∠2+∠3=180°-∠α=110°.
∵∠β=180°-(∠5+∠6),
∴∠β=180°-(180°-2∠2+180°-2∠3)=2(∠2+∠3)—180°=2×110°—180°=220°—180°=40°.故选 C.
方法技巧 解答本题我们没有办法算出∠2 和∠3 具体是多少度，但我们可以把它们两个的和作为一个整体，从而求出问题的解.
7.∠CDE,∠BCD
8.∵∠BAC:∠B:∠C=4:3:2,
∵AD 是 BC 边上的高线,∴∠ADB=90°,
∵AE 平分∠
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°.
9. [模块探究]延长BO交AC 于点D,如图(1).
∠CDO)=∠C+∠CDO,
同理,∠CDO=∠A+∠B,
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.
[直观应用](1)2α [解析]由上述结论得∠BOC=∠A+∠B+∠C,∠EOF=∠D+∠E+∠F,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠EOF=2α.
(2)∠A,∠B,∠C,∠D,∠E 的度数之和是 180°. 证明如下：
如图(2).∵∠BOC=∠A+∠B+∠C,∠BOC=∠EOD,∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠D=∠E+∠D+∠EOD=180°.
10. (1)①∵△ABC 是“友爱三角形”,且∠A 与∠B 互为“友爱角”(∠A>∠B),∴∠A=2∠B.
∵∠ACB =90°,∴∠A+∠B =180°-90°= 90°,即2∠B+∠B=90°,解得∠B=30°,∴∠A=60°.
②△ACD,△BCD 都是“友爱三角形”.理由如下:
∵CD 是△ABC 中AB 边上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠A=60°,∠B=30°,∴∠ACD=30°,∠BCD=60°.
在△ACD中,∠A=60°,∠ACD=30°,
∴∠ACD= ∠A,∴△ACD为“友爱三角形”.
在△BCD中,∠BCD=60°,∠B=30°,
∴∠B= ∠BCD,∴△BCD 为“友爱三角形”.
(2)∵△ACD 是“友爱三角形”,D 是边AB 上一点(不与点A,B重合),
或
当 时，
当 时，
∠A+3∠ACD=180°,即3∠ACD=114°,
∴∠ACD=38°.
综上所述,∠ACD 的度数为33°或 38°.
思路引导 (1)①利用“友爱三角形”的定义及∠A>∠B
结合∠ °解答;②由∠A=60°,∠B=30°,∠ADC=∠BDC=90°,求出∠BCD =60°,∠ACD=30°，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论；
(2)利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答.
11. C [解析]因为∠BAC=90°,所以△ABC 是直角三角形.因为AD 是边BC上的高,所以∠ADB=∠ADC=90°,所以△ABD,△AED,△ACD 都是直角三角形,所以图中的直角三角形共有4个.故选 C.

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