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13.2.2三角形的中线、角平分线、高
基础巩固提优
1.(2025·福建厦门湖里中学期中)△ABC 的三条高如图所示，AC 边上的高是（ ）.
A. AE B. AD C. CE D. BF
2.(2025·广东珠海斗门区期末)三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）.
A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形
C.直角三角形 D.周长相等的三角形
3. (2025·广东肇庆期中)如图,AD 是△ABC 的中线,已知△ABD 的周长为25 cm,AB 比AC长6cm,则△ACD 的周长为 cm.
4. 如图,AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD的中线.
(1)作图:在△BED 中作出 BD 边上的高EF,BE 边上的高DG.
(2)若△ABC 的面积为40,BD=5,则△BED 中BD 边上的高EF 为多少
思维拓展提优
5.下列说法错误的是（ ）.
A.三角形的重心是三条中线的交点
B.钝角三角形有两条高线在三角形外部
C.直角三角形只有一条高线
D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
6. (2025·福建福州仓山区期末)如图，在△ABC 中,AD,AE 分别是边 BC 的中线、高线，过点D 作DF⊥AB 于点F,若 则 的值是（ ）.
A. B. C. D.
7.(2025·北京海淀区期中)如图的四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是 .(填序号)
8. (2024·上海崇明区期末)如图,AD 为△ABC 的角平分线,DE∥AB交AC 于点E,若∠BAC=100°,则∠ADE= °.
9. (2025·北京朝阳区人大附中期中)在△ABC 中,AB>AC,D,E 是边BC 上的两点,且BD①若AD 是△ABC 的高,则 AE 可能是△ABC的中线；
②若AD 是△ABC 的中线,则AE 可能是△ABC的高；
③若 AD 是△ABC 的角平分线,则 AE 可能是△ABC的中线;
④若AD 是△ABC 的高,则AE 不可能是△ABC的角平分线.
上述推断中所有正确结论的序号是 .
10.分类讨论思想 在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AB=12,AC=8.用剪刀从点 D 入手进行裁剪，若沿 DA 剪成两个三角形，它们周长的差为 ;若点 E 在AB 上,沿 DE 剪开得到两部分周长差为2，则AE= .
11. (2025·广东珠海香洲区期末)如图所示,点A,B,C分别是线段BD,CE,AF 的中点,若△DEF的面积为a，则△ABC 的面积为 .(用含a 的式子表示)
12. (2025·陕西西安杨陵区期末)如图,在△ABC 中,CD 是中线,已知 BC-AC=5cm,△DBC的周长为 25 cm,求△ADC 的周长.
13. (2024·河南商丘期末)如图,在△ABC 中(AC>AB),AC=2BC,边 BC 上的中线 AD 把△ABC 的周长分成55 和45 两部分,求 AC和AB 的长.
14.(2025·安徽合肥包河区滨湖寿春中学期中)如图，△ABC的周长为24,AC=8,边 BC上的中线AE=5,△ABE 的周长为16,求AB 的长.
延伸探究提优
15. 方程思想 在△ABC中,AB:AC=3:2,BC=AC+1,若△ABC 的中线 BD 把△ABC 的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC 的长.
1. D [解析]线段 BF 是AC 边上的高.故选 D.
归纳总结 从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称为三角形这条边上的高.
2. B
3.19 [解析]∵AD 是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△ABD 和△ACD 周长的差=(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.
∵△ABD 的周长为25cm,AB 比AC长6cm,
∴△ACD 周长为25-6=19(cm).
4.(1)如图所示,EF,DG 即为所求作.
(2)∵AD 为△ABC 的中线,BE 为△ABD 的中线,
∵△ABC 的面积为40,BD=5,
∴EF=4,即△BED中BD 边上的高EF 为4.
5. C[解析]A.三角形的重心是三条中线的交点，故本选项说法正确；B.钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确；C.直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误；D.任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，故本选项说法正确.故选 C.
归纳总结 三角形的高、中线和角平分线，只有高可能在三角形外，其他的都在三角形内.
6. C [解析]∵AD 是边BC的中线,∴BD=DC.
故选C.
7.(3)
8.50 [解析]∵AD 为△ABC 的角平分线,∠BAC=100°,
∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=50°.
9.②④ [解析]①如图(1),∵AB>AC,AD 是△ABC 的高，∴AE 不可能是△ABC 的中线，本小题结论错误；
②如图(2),AD 是△ABC 的中线,则AE 可能是△ABC的高，本小题结论正确；
③如图(3),AD 是△ABC 的角平分线,则AE 不可能是△ABC 的中线，本小题结论错误；
④如图(1),AD 是△ABC 的高,则AE 不可能是△ABC的角平分线，本小题结论正确.
10. 4 1或3 [解析]如图(1).
∵D是BC的中点,∴BD=CD,
∴△ABD 的周长-△ACD 的周长=AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=12-8=4.
如图(2),设AE=x,则BE=12-x,
当四边形ACDE 的周长-△BDE 的周长=2时,
即AE+ED+CD+AC-(BE+BD+DE)=2,
整理,得AE+AC-BE=2,
∴x+8-(12-x)=2,解得x=3;
当△BDE 的周长一四边形 ACDE 的周长=2时,
即BE+BD+DE-(AE+ED+CD+AC)=2,
整理,得BE-AE-AC=2,
∴12-x-x-8=2,解得x=1.
综上,AE=1或3.
[解析]如图,连接AE,CD,设△ABC 的面积为x.
∵点 B 为CE 中点,
∴S△ABE=S△ABC=x.
同理，可得S△ADE=x,S△ACD=S△FCD =x,S△FCE=2x,
∴S△DEF=7x.
∵△DEF 的面积为ca,∴7x=a,则 ∴△ABC的面积为 a.
12. ∵CD 是中线,∴AD=BD,
∴△DBC 的周长-△ADC 的周长=(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=BC-AC.
∵BC-AC=5cm,△DBC 的周长为25cm,
∴25-△ADC的周长=5,
∴△ADC 的周长为20cm.
13. 设BC=2x,则AC=4x.
∵AD 是边BC 上的中线,∴CD=BD=x,由题意,得x+4x=55,AB+x=45,解得x=11,AB=34,∴AC=4x=44.
∵AB+BC>AC,
∴AC 的长为44,AB 的长为34.
14.设AB=x,BE=y.
∵AE 是边 BC上的中线,∴BC=2BE=2y.
∵△ABC 的周长为24,∴C△ABC=x+8+2y=24.
∵△ABE的周长为16,
∴C△ABE=AB+AE+BE=x+5+y=16,即 解得 . AB 的长为6.
15. 设AB=3x,则AC=2x,AD=CD=x,BC=2x+1.
①当(AB+AD):(BC+CD)=8:7时,
即4x:(3x+1)=8:7,
解得x=2,则AB=6,AC=4;
②当(BC+CD): (AB+AD)=8:7时,
即(3x+1): 4x=8:7,
解得 则
综上所述,AB=6,AC=4或

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