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母题变式提优 (一) 与三角形有关的求角的思想
母题学方法1转化思想
当所求角与题目中已知角不在同一三角形中时，通过作辅助线将其转化到同一个三角形中，利用三角形的内角和求解.
1. (2025·山东济宁金乡期末)如图,已知∠A =60°,∠B=40°,∠C=30°,则∠D+∠E 等于( ).
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
子题练思维
变式1.1小慧一笔画成了如图所示的图形，若∠A=60°,则∠B+∠C+∠D+∠E 的度数为( ).
A. 180° B. 240° C. 270° D. 300°
母题学方法2 分 类讨论思想
当题目中的三角形形状不确定或其内角之间的关系不确定时，需要对其分类讨论，再利用三角形的内角和求解.
2. 在△ABC 中,BE 为△ABC 的高,∠A=50°,∠CBE=20°,则∠ABC= °.
子题练思维
变式2.1 在△ABC 中,AD 为边 BC 上的高,∠BAD=50°,∠CAD=20°,则∠BAC 的度数为 .
变式2.2当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”.如果一个“梦想三角形”有一个角为 126°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 .
变式2.3 在△ABC 中,∠A=50°,BD,CE是它的两条高,直线 BD,CE 交于点F,则∠DFE=
变式2.4(2025·山东淄博博山区期末)在一个钝角三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.例如，三个内角分别为 120°,40°,20°的三角形是“智慧三角形”.如图,∠MON=60°,在射线 OM 上找一点A,过点 A 作AB⊥OM 交ON 于点 B,以 A 为端点作射线AD,交射线OB 于点C.
(1)∠ABO 的度数为 °,△AOB (填“是”或“不是”)“智慧三角形”；
(2)若∠OAC=20°,求证:△AOC 为“智慧三角形”;
(3)当△ABC 为“智慧三角形”时,求∠OAC 的度数.(直接写出答案)
母题学方法3 整体思想
将题目中几个相关联的角当做一个整体并同时进行运算，一般涉及角平分线.
3.(2025·山东济南章丘区期末)如图,在△AOB 中,AO ,BO 分别平分∠OAB,∠OBA,AO ,BO 分别平分∠OAO ,∠OBO ,若∠O=60°,则 （ ）
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
子题练思维
变式3.1 (2025·辽宁阜新太平区期末)在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线BE,CD 交于点F.
(1)[问题呈现]
如图(1),若∠A=100°,求∠BFD 的度数;
(2)[问题推广]
如图(2),将△ABC沿MN 折叠,使得点A 与点 F重合,若∠1+∠2=160°,求∠BFC 的度数;
(3)[问题拓展]
若P,Q 分别是线段 AB,AC上的点,设∠AQP=α,∠ACB=β.射线 CF 与∠APQ 的平分线所在的直线相交于点 H(不与点 P 重合)，直接写出∠PHC 与∠BFC 之间的数量关系(用含α,β的式子表示).
(变式3.1)
母题学方法4方程思想
当题目中的几个角有确定的数量关系且直接运算不方便时，一般设出其中一个角，并用这个角表示出其他角，再利用三角形的内角和列出一元一次方程解题.
4.当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的一个内角为 42°，那么这个“特征角”α的度数为 .
子题练思维
变式4.1 如图,CD是△ABC 的角平分线,∠1=∠2,∠B=30°,求∠ACB 的度数.
变式4.2 (2025·甘肃张掖甘州区期末)如图,在△ABC中,D 是BC 边上的一点,∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°,求∠DAC 的度数.
母题变式提优(一)与三角形有关的求角的思想
1. C [解析]连接BC,如图所示,
∵∠A=60°,∠ABE=40°,∠ACD=30°,
∴∠1+∠2=180°-∠A-∠ABE-∠ACD=180°-
∵∠D+∠E=∠1+∠2,∴∠D+∠E=50°.故选 C.
变式1.1 B [解析]如图,
在△BCM中,∠B+∠C+∠BMC=180°,
∴∠BMC=180°-(∠B+∠C).
∵∠AMN=∠BMC,∴∠AMN=180°-(∠B+∠C).在△DEN 中,∠D+∠E+∠DNE=180°,
∴∠DNE=180°-(∠D+∠E).
∵∠ANM=∠DNE,∴∠ANM=180°-(∠D+∠E).在△AMN 中,∠A+∠AMN+∠ANM=180°,
∴∠A+180°-(∠B+∠C)+180°-(∠D+∠E)=180°.
∴∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+180°.
∵∠A=60°,∴∠B+∠C+∠D+∠E=240°.故选 B.
2.20或60 [解析]依照题意画出图形，如图所示.
∵BE 为△ABC 的高,∴∠AEB=90°.
在△ABE 中,∠AEB=90°,∠A=50°,
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠A=180°-90°-50°=40°.
当△ABC 为钝角三角形时,∠ABC=∠ABE-∠CBE=40°-20°=20°;
当△ABC 为锐角三角形时,∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+20°=60°.
∴∠ABC=20°或60°.
变式2.1 70°或30°[解析]如图(1),∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°.
如图(2),∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-20°=30°.
变式2.2 12°或13.5°[解析]①126°÷3=42°,180°-126°-42°=12°,
则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为12°；
②设这个“梦想三角形”的其他两个内角的度数分别为3x，x,则3x+x+126°=180°,解得x=13.5°,
则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 13.5°.
变式2.3 130°或50°[解析]当△ABC 为锐角三角形时,如图(1),
E
F
∵∠A=50°,BD,CE是它的两条高,
∴∠ADF=∠CDF=∠AEF=90°,
∴∠ACE=90°-50°=40°,∴∠DFE=130°;当△ABC 为钝角三角形时,如图(2)(3),
∵∠A=50°,BD 是它的高,∴∠ABD=40°.
∵CE 是△ABC 的高,∴∠DFE=50°.
综上所述:∠DFE=130°或∠DFE=50°.
变式2.4 (1)30不是[解析]∵AB⊥OM,
∴∠OAB=90°,∴∠ABO=90°-∠MON=30°,
∴△AOB 为直角三角形，不是“智慧三角形”.
(2)∵∠AOC=60°,∠OAC=20°,
∴∠AOC=3∠OAC,∠ACO=180°-60°-20°=100°,
∴△AOC 为“智慧三角形”.
(3)①当点 C 在线段OB 上时,∵∠ABO=30°,
∴∠BAC+∠BCA=150°,∠ACB>60°,∠BAC<90°.
Ⅰ、当∠ABC=3∠BAC时,∠BAC=10°,
∴∠OAC=80°.
Ⅱ、当∠ABC=3∠ACB 时,∠ACB=10°,.此种情况不存在.
Ⅲ、当∠BCA=3∠BAC时,∴∠BAC+3∠BAC=150°,
∴∠BAC=37.5°,∴∠OAC=52.5°.
Ⅳ、当∠BCA=3∠ABC时,
∴∠BCA=90°,∴∠BAC=60°,
∴∠OAC=90°-60°=30°(舍去,此时△ABC 为直角三角形不符合题意).
V、当∠BAC=3∠ABC时,
∴∠BAC=90°,∴∠OAC=0°(舍去).
Ⅵ、当∠BAC=3∠ACB 时,
∴3∠ACB+∠ACB=150°,∴∠ACB=37.5°,
∴此种情况不存在.
②当点 C 在线段OB 的延长线上时，
∵∠ABO=30°,∴∠ABC=150°,
∴∠ACB+∠BAC=30°.
Ⅰ、当∠ACB=3∠BAC 时,
∴3∠BAC+∠BAC=30°,∴∠BAC=7.5°,
∴∠OAC=90°+∠BAC=97.5°.
Ⅱ、当∠BAC=3∠BCA 时,
∴3∠BCA+∠BCA=30°,∴∠BCA=7.5°,
∴∠BAC=3∠BCA=22.5°,
∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°.
当△ABC 为“智慧三角形”时,∠OAC 的度数为 80°或52.5°或97.5°或112.5°.
3. A [解析]∵∠O+∠OAB+∠OBA=180°,∴∠OAB+ 分别平分∠OAB,∠OBA,∴∠O AB=∠O AO= ∠OAB,
∵AO ,BO 分别平分∠OAO ,∠OBO ,
故选 A.
变式3. 1 (1)∵∠ABC,∠ACB 的平分线BE,CD 交于点F,∴∠ABC=2∠FBC,∠ACB=2∠FCB,
∴2∠FBC+2∠FCB=∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∵∠BFD 是△FBC 的一个外角,
(2)∵∠AMF=180°-∠1,∠ANF=180°-∠2,∠1+∠2=160°,
∴∠AMF+∠ANF=360°-(∠1+∠2)=200°.
由折叠性质得∠AMF=2∠AMN,∠ANF=2∠ANM,
∴2∠AMN+2∠ANM=∠AMF+∠ANF=200°,
∴∠AMN+∠ANM=100°,
∴∠A=180°-(∠AMN+∠ANM)=80°.
由(1)得
∴∠BFC=180°-∠BFD=130°.
(3)∵P,Q分别是线段AB,AC上的点,射线CF 与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H，
∴有以下两种情况：
①射线CF 与∠APQ 的平分线相交于点 H,设射线 PH交AC于K,如图(1)所示.
由(1)得
∵CF 平分∠ACB,PH 平分∠APQ,∠ACB=β,
∵∠APQ=180°-∠A-∠AQP=180°-∠A-α,
∵∠1=∠APK+∠A,
即
∵∠PHC=∠1+∠ACH,
②射线 CF 与∠APQ 的平分线所在的直线相交于点 H时,设射线 PH 交AC 于K,如图(2)所示.
同理：
在△KHC 中,∠PHC=180°—∠1—∠ACH=180°—
综上所述:∠PHC 与∠BFC 之间的数量关系是∠PHC- 或 β.
4.42°或84°或92° [解析]当内角α是42°时,三角形的一个内角为42°÷2=21°,
∵42°+21°<180°,∴∠α=42°符合题意;
当内角α是42°的两倍时,∠α=42°×2=84°,
∵42°+84°=126°<180°,∴∠α=84°符合题意;
当内角α是第三个角的两倍时，设∠α=x°，则第三个角的度数为 依题意，得
解得.x=92,∴∠α=92°.
综上所述,∠α的度数为42°或84°或92°.
变式4.1 设∠ACB=2α,
∵CD 是△ABC 的角平分线,
∴∠1=∠B+∠BCD=30°+α.
∵∠1=∠2,∴∠2=30°+α.
∵∠2+∠B+∠ACB=180°,
∴30°+α+30°+2α=180°,
∴α=40°,∴∠ACB=80°.
变式4.2∵∠C=∠DAC,∴设∠C=∠DAC=x,则∠ADB=2x=∠B.
∵∠BAC=87°,∴∠B+∠C=93°.
∴x+2x=93°,∴x=31°,∴∠DAC=31°.

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