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江西省赣州市于都县第二中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前项和为( )
A. B. C. D.
5.已知函数且是奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次，且没有出现并列的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好”从这两个回答分析，人的名次排列情况的种数为( )
A. B. C. D.
7.已知为第一象限角，，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办“学党史守初心，践使命担责任”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩满分分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，则( )
A. B. 估计成绩低于分的有人
C. 估计这组数据的众数为 D. 估计这组数据的第百分位数为
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 为函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增
C. 在区间上的值域为 D. 在区间上有个零点
11.已知直三棱柱的所有棱长均为，点分别是线段的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 三棱柱外接球的表面积为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正实数满足，则的最小值为 ．
13.已知数列满足，且数列的前项和为，则 ．
14.已知定义在上的奇函数满足，且当时，函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的周长为，面积为，求．
16.本小题分
盒中有个红球，个白球，这些球除颜色外完全相同．
若从盒中不放回地随机取次，每次取个球，记为取到的红球的个数，求的分布列和数学期望；
若从盒中每次随机取个球，取出后将原球放回，再加入个同色球，求在第次取到红球的情况下，第次取到白球的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，且．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点．
求椭圆的方程；
若，试求直线的方程．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若对任意恒成立，求的取值范围；
设无穷数列，请探究是否存在，使得．
参考答案
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14.
15.解：在中，由及正弦定理得，
则，
因此，而，则，又，
所以．
由及已知得，解得，
由，得，
由余弦定理得，则，
所以．

16.解：的可能取值为
的分布列如下：
记事件“第次取到红球”，于是
那么
．

17.解：证明：取的中点，连接．
由是边长为的等边三角形，得，，
易得四边形为正方形，所以，
则，所以．
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
由知直线两两垂直，
则以为坐标原点，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，则
取，得，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：根据题意作图如下：

设，椭圆过点，
所以有，，
又，则，
所以，则，所以，
整理得，因为，
所以解得，
故椭圆的方程为．
根据题意作图如下：

若，则．
当直线与轴垂直时，其方程为，
则，，不满足题意．
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
整理得，即．
设，则，
因为，在直线上，且在的两侧，
所以，则，所以
由解得，代入，
得解得，
所以直线的方程为，即或，
综上，直线的方程是或．

19.解：函数，求导得，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
不等式，令，
依题意，在上恒成立，且，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递减，，
当，即时，，函数在上单调递减，
则，函数在上单调递减，，
因此不等式在内恒成立，于是；
当时，，函数在的图象连续不断，
则存在，使得当时，，于是函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是．
由于，则当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则．
当时，而，由二次函数性质得，与矛盾；
当时，记，则，
以此类推得，不妨设，
倒推得，只要存在，使得，且，
同时因为，又函数的值域包含的部分区间，
因此存在，使得，进而通过递推关系使得，
所以存在，使得．

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