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上海市七宝中学2026届高三上学期开学练习数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、是非零实数，若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知，且是虚数单位是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是
A. B. C. D.
3.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，则当时，方程实根的个数为( )
A. B. C. D.
4.对于函数，设：对任意的，均有，：对任意的，均有，：函数为偶函数，则 ．
A. 、中仅是的充分条件 B. 、中仅是的充分条件
C. 、均是的充分条件 D. 、均不是的充分条件
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若全集，集合，则 ．
6.双曲线的两条渐近线方程为 ．
7.已知某圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的母线长是 ．
8.已知是等差数列的前项和，，则 ．
9.若事件与相互独立，且，则 ．
10.的展开式中的系数为 ．
11.函数的最大值为 ．
12.已知函数的图像是折线段，其中，函数的图像与轴围成的图形的面积为 ．
13.在中，，，且，则 ．
14.已知圆心为、半径为的圆上有三点、、若，则 ．
15.已知函数若，有个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点是椭圆的顶点，则这样的等腰三角形的个数为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点．
证明：平面；
证明：平面平面．
18.本小题分
已知为常数，函数．
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间．
19.本小题分
某学校有名高中学生，其中男生名，女生名．按照分层抽样原则抽取了名学生，被抽取的名学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
通过计算得到男生身高样本平均数为，方差为，女生身高样本平均数为，方差为求该名高中学生身高的样本平均数和方差，并估计该校学生身高的总体方差．结果精确到
若从身高属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的身高分别为，记事件，求．
20.本小题分
已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点．
若，求的坐标；
过点的直线交抛物线于、两点，求的值其中为坐标原点；
若为等腰直角三角形，求面积的最小值．
21.本小题分
定义在上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”．
若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数；
若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
设定义在上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”设：“函数在上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.；
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.
17.解：在四棱锥中，四边形为正方形，
连接，，交于点，则是中点，连接，
为中点，则为的中位线，
，
在平面外，平面，
平面．
在四棱锥中，四边形为正方形，
，
平面，平面，
，
平面，
平面，
平面，
平面平面．

18.解：记，定义域为，
当时，，
因为，故函数为偶函数，
当时，，
取，因为且，
即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．
，
因为，所以当时，，
当时，，
所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减．

19.解：根据题意可知，第六组的频率为，
则第七组的频率为；
由题意，样本总量为，其中男生样本量为，女生样本量为．
记男生样本为，平均数为，方差为；
记女生样本为、，平均数为，方差为，
所有数据样本平均值为，方差为．
由，
所有数据的样本平均数为．
据此可以估计该校学生身高的总体方差为．
第六组的人数为，设为，
第八组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名学生有共种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，
事件包含的基本事件为共种情况，
．

20.解：不妨设，因为，可得，解得，
则的坐标为或；
由题知，直线斜率不为，故可设过焦点的直线为，设点，
联立得
则．
若三角形为等腰直角三角形，
不妨设，因为，且，
不妨设，
此时，
代入抛物线方程可得：
解得，
所以，
整理得，
由于，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
则，即，
当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，时，三个顶点坐标为，
此时三角形面积的最小值为．

21.解：因为是上的偶函数，故对任意的都有．
又是的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数．
不妨设，当时，在上是严格增函数，
有．
而
．
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”．
是的必要非充分条件．
充分性，举反例．
令，显然在上是严格增函数．
因为，所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数．
因此不是的充分条件．
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数．
任取，且，有，即对任意，且，有．
下面证明：对任意的实数，有或成立．
若存在，使得且，其中不妨设，
当或式中有等号成立时，则与其中矛盾
当两式中等号均不成立时，考虑，因为，由连续函数的零点存在定理知，
必存在使得，也与其中矛盾
同理可证且也不可能．
因此，对任意的实数，有成立或成立．
若成立，则在上是严格增函数；若成立，在上是严格减函数．必要性得证．

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