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上海市南洋模范中学2026届高三上学期初态考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数、，那么是的 条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
3.组合数恒等于( )
A. B. C. D.
4.数列中，，，使对任意的恒成立的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若复数满足：，则 ．
6.若展开式系数之和为，则展开式中含项的系数为 ．
7.已知集合，，若，则实数的值为 ．
8.函数的最大值为 ．
9.若事件与事件相互独立，，，则 ．
10.有名男生，名女生，全排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法种数的是 ．
11.有一根长为，底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在该圆柱的侧面上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝长度的最小值为，则圆柱侧面积的最大值为 ．
12.已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ．
13.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 ．
14.已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是 ．
15.如图所示，半径为的圆内接于正方形，点是圆上的一个动点，点与关于直线成轴对称，若，则的取值范围是 ．
16.在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点．

求三棱锥的体积；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求的值
求的值域；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围．
19.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，点，是图象上相邻的最低点与最高点，线段与的图象交于点，过点作轴的垂线与的图象的离最近的一个交点为，．
求的解析式；
求；
已知甲地某一天的气温单位：随时间单位：的变化曲线是图象的一部分，若该地居民在气温低于时开启空调，求该地居民这一天开启空调的时长．
20.本小题分
过点的直线与双曲线：的右支交于两点，当轴时，．
求的渐近线方程；
记的左顶点为，求的取值范围；
若分别以点、为圆心的两圆有公共点在轴上，它们与轴的另一交点分别记作点、，记为坐标原点，当时，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数为自然常数．
当时，求函数在处的切线方程；
若函数在区间上有最小值，求实数的值；
在的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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16.
17.因为四边形是菱形，所以．
又，平面，且，所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为是棱上的中点，所以到平面的距离，
四边形是菱形，，，
则中，，，，
，三棱锥的体积为．
取棱的中点，连接，则有，因为，则．
两两垂直，故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系．
因，则．

因是棱上的中点，则．
设平面的法向量为，则
令，则，得．
平面的一个法向量为．
设平面与平面的夹角为，则．
故平面与平面夹角的余弦值为．

18.因为函数是上的奇函数所以
即：，解得，此时，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数．
，令，根据指数函数图像知，故，
则，，，
故的值域为．
设，根据指数函数单调性知，在上为增函数，
故在上为减函数，故在上也为减函数．
又因为为奇函数，所以不等式恒成立
即恒成立，即恒成立
所以对恒成立，
即对恒成立，
因为函数所以
综上所述，的范围是．

19.根据的图像，得的最大值为，最小值为，所以
解得，，
由对称性可知，点，均为图象的对称中心，
所以，
所以，，，
把代入并化简得，
又，所以，
所以．
由已知及可得，，，
所以，，
所以．
由，得，
所以，
解得，
因为，所以，，
所以该地居民这一天开启空调的时长为．

20.当轴时，，故点在上，可得，
故的标准方程为故的渐近线方程为．
设直线，联立，可得．
当时，与只有一个交点，故．
因为与右支有两个交点，根据图像可得．
设，根据韦达定理可得
故
．
易得
，
即，整理得，
，，，解得；
故，令，设；
则对于恒成立．
最小值为，最大值为；即的取值范围为．

21.由题设，则，故，，
所以函数在处的切线方程为，
整理得；
由题设且，
当时，，即在上单调递减，
此时，在区间上有最小值，可得；
当时，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，不符合；
综上，；
由题设且，
对于，有，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以恒成立，则在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，
故，易知在上单调递增，且，
所以时，即，时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
综上，．

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