资源简介

上海市进才中学2026届高三上学期第一次阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若数列满足，其前项和为，则( )
A. 既无最大值，又无最小值 B. 当且仅当时，取得最小值
C. 当且仅当时，取得最小值 D. ，
4.已知函数，则( )
A. B. 不是周期函数
C. 在区间上存在极值 D. 在区间内有且只有一个零点
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，则 ．
6.若，则 ．
7.设是等比数列，，，则 ．
8.函数的定义域是 ．
9.已知向量，满足，，，则 ．
10.若函数满足，则 ．
11.已知则 ．
12.已知点与点的距离不大于，则点到直线的距离最小值为 ．
13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的
底面半径为，高为，圆锥的高为，则这个木质工艺品的体积为 ．
14.若直线与圆相交于两点，且其中为原点，则的值为 ．
15.在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
16.已知数列给出下列四个结论：
；
；
为递增数列；
，使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，．
求；
求以及的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面分别为的中点，点在线段上
求证：平面；
如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．
19.本小题分
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取人，甲校有人答对，乙校有人答对，用频率估计概率．
从甲校随机抽取人，求这个人做对该题目的概率．
从甲、乙两校各随机抽取人，设为做对的人数，求恰有人做对的概率以及的数学期望．
若甲校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小结论不要求证明
20.本小题分
设常数在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：，与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．
用表示点到点距离；
设，，线段的中点在直线上，求的面积；
设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的单调递减区间；
若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由，根据正弦定理得，，
因为，所以，
由，则，解得．
由余弦定理得，，
则，解得负值舍去，
所以．

18.解：因为侧面底面，，即，侧面底面平面，
平面因为平面，
因为底面是平行四边形，，
因为即，
因为分别为的中点，所以
平面，
平面；
由可知，，又平面，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设，则，所以，
，
易得平面的法向量，
设平面的法向量，则，即
令，则，所以，
因为直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，
所以，即，
所以，解得，
所以，即．

19.解：用频率估计概率，从甲校随机抽取人，做对题目的概率为．
设为“从甲校抽取人做对”，则，，
设为“从乙校抽取人做对”，则，，
设为“恰有人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故．
设为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，
故．

20.解：方法一：由题意可知：设，则，；
法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，；
，，，，则，
，，设的中点，
，，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：，舍去，
的面积；
存在，设，，则且，，
直线方程为，，，
又因为四边形为矩形，所以，则，
，解得：，即，
存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．

21.解：当时，，则，
所以，
曲线在点处的切线方程为，
当时，，
所以该函数的定义域为，
，
由，解得或，
所以当时，求函数的单调递减区间为，
因为，
则，
令，因为函数在区间上只有一个极值点，
则函数在上有一个零点，
当时，对任意的，，不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，
因为，只需，合乎题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需，不合乎题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围是．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑