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天津市实验中学滨海育华学校2026届高三上学期暑期验收（开学）考试数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的图象如下，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
4.已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.下列说法中，正确的是( )
A. 经验回归直线是由成对样本数据中的两点确定的
B. 如果两个变量的相关程度越强，则相关系数越接近于
C. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
7.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
8.某次期末数学考试共道单项选择题每个题有个选项，某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是( )
A. B.
C. D.
9.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中环的概率为，此运动员两次均击中环的概率为，则在第一次击中环的条件下，第二次也击中环的概率，( )
A. B. C. D.
10.设为随机变量，若，当时，的值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.已知命题：，，则是
14.函数的定义域是 ．
15.在的展开式中，常数项为 ．
16.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、两个结界兽、四大龙王共个人物手办，小明随机购买个盲盒个盲盒内人物一定不同，求在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，四大龙王有且仅有一位的概率为 ；记小明抽到的龙王盲盒个数为，则 ．
17.小轩操场跑步，一周次，一次跑圈或圈．第一次跑圈或圈的概率均为，若第一次跑圈，则第二次跑圈的概率为，跑圈的概率为；若第一次跑圈，则第二次跑圈的概率为，跑圈的概率为小轩一周跑圈的概率为 ；若一周至少跑圈为运动量达标，则连续跑周，记合格周数为，则的期望 ．
18.已知函数的单调递增区间为 ．
19.若随机变量的分布列如表所示，则的最小值为 ．


20.函数，若恰有三个零点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人 扭秧歌表演秧成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为指标甲、乙、丙检测合格分别记分、分、分，若某项指标不合格，则该项指标记分，各项指标检测结果互不影响．
求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于分的概率；
记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
22.某社团共有名成员，其中高一男生人，女生人，高二男生人，女生人．现从中随机抽选人参加数学知识问答．
若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率；
若恰好抽选了名男生与名女生，求这人都是高二学生的概率；
若恰好抽选了名高一学生与名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值．
23.已知函数的导函数为，且满足．
求及的值；
求在点处的切线方程．
24.已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若有极小值，且极小值小于，求的取值范围．
参考答案
1.
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21.解：设甲通过量化检测为事件，乙通过量化检测为事件，
丙通过量化检测为事件，得分不低于分为事件，
由已知，，，
由题，；
由题可得随机变量的可能值为：．
则；
；
；
．
则分布列为：
则．

22.解：若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的情况为男生所占人数总比例，即概率为．
记事件为恰好抽选了名男生与名女生，事件为这人都是高二学生由题知男生总共人，女生总共人
，，
由条件概率可得．
因为恰好抽选了名高一学生与名高二学生，可能的情况包含“名高一男学生与名高二男学生”、“名高一男学生与名高二女学生”、“名高一女学生与名高二男学生”、“名高一女学生与名高二女学生”．
抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为．
；
．
则的分布列为
则均值．

23.解：由题设，，故，可得，
所以．
由知：切点为且切线斜率为，
所以切线方程为，即．

24.解：当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即．
解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以的取值范围为．

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