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天津市河西区天津市第四十一中学2026届高三上学期开学数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
1.设集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.下列条件中，使成立的必要而不充分条件是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在名学生中，抽查了名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 样本的众数为
B. 样本的第百分位数为
C. 样本的平均值为
D. 该校学生中低于的学生大约为人
5.设，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的首项为，若，，成等差数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.设、分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为( )
A. B. C. D.
9.已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
的图象关于点对称；
的图象关于直线对称；
的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；
若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．
以上四个说法中，正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数的实部为，虚部为，则 ．
11.在的展开式中，常数项是 用数字作答
12.写出与直线和轴都相切，半径为的一个圆的方程： ．
13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明上班出行方式有自驾坐公交车骑共享单车三种，某天早上他选择自驾坐公交车骑共享单车的概率分别为，而他自驾坐公交车骑共享单车迟到的概率分别为，则小明这一天迟到的概率为 ；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为 ．
14.在中，，，，，则 ，若动点在线段上，则的最小值为 ．
15.已知函数若关于的方程有个互不相等的实数解，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为，．
求的值；
求的值；
求的值．
17.已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．
18.已知是等差数列，是等比数列，且，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
19.已知函数，．
若，求的单调区间．
若，且在区间上恒成立，求的范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一．
13.
14.
15.
16.由正弦定理得，
，
，，
又，所以．
，即，
又，即，
由解得或
又，
所以的值为．
由知，
所以，
，
又，所以，，
则，
所以
，
即的值为．

17.由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为．
法一：当直线斜率为时，，不符合题意．
当直线斜率不为时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则．
由题意，，
即，解得．
故直线的方程为：或．
法二：当直线斜率不存在时，，不符合题意．
设直线方程为，
联立，得，，
设，则
由，得，
即，解得．
故直线的方程为或．

18.设公差为，公比为，
，故，，
，故，
联立，解得或舍去，
故，；
，设数列的前项和为，
则，
，
两式得，
所以．

19.当时，，，
则，
令，解得，
且当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
由已知，，
得，
令，解得，，
当时，，此时恒成立，
即函数在上单调递增，
又，所以，所以不满足题意；
当时，，此时函数在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
所以时，不等式恒成立；
当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以需满足，解得，
所以时不等式恒成立．
综上所述．

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