资源简介

1.1菱形的性质与判定
【知识点1】菱形的判定与性质 1
【知识点2】菱形的判定 1
【知识点3】菱形的性质 2
【题型1】菱形的性质与坐标系 2
【题型2】菱形的性质与阴影面积 6
【题型3】菱形的判定 8
【题型4】菱形的性质和判定 10
【题型5】菱形的性质 13
【题型6】菱形的性质与最小值 16
【题型7】菱形的应用 19
【知识点1】菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）
（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
【知识点2】菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
【知识点3】菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
【题型1】菱形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，4），则顶点B，C的坐标是（　　）
A.B（8，4），C（5，0） B.B（8，4），C（4，0） C.B（7，4），C（5，0） D.B（7，4），C（4，0）
【答案】A
【解析】过点A作AD⊥OC于D，
∵A的坐标是（3，4），∴OD＝3，AD＝4，∴，
∵四边形OABC是菱形，∴OC＝OA＝AB＝5，AB∥x轴，∴B（8，4），C（5，0）.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，设AD与y轴交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，
∵AD＝8，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，则BD＝AD＝8，
∵O是菱形ABCD的对角线BD的中点，，
∵AD∥x轴，则∠DEO＝90°，∴∠EOD＝30°∴∴，
∵A，C关于O对称，∴.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为（　　）
A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0）
【答案】A
【解析】∵点B的坐标为（0，﹣3），∴OB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ABO＝ABC＝60°，
∵∠AOB＝90°，∴OA＝3，∴A（﹣3，0）.
【举一反三3】如图，四边形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，则顶点A坐标是 　 　．
【答案】（10，0）
【解析】∵四边形OABC是菱形，对角线OB，AC交于点D，∴AC⊥OB，∴∠ADO＝90°，
∵AC＝12，OB＝16，∴AD＝CD＝AC＝6，OD＝BD＝OB＝8，∴OA＝＝＝10，
∴A（10，0），
【举一反三4】如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原点O，已知点A（﹣2，3），则点C的坐标为 　 　．
【答案】（2，﹣3）
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，3），∴点C的坐标是（2，﹣3）．
【举一反三5】如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，求点B′的坐标.
【答案】解：过点B作BE⊥x轴于点E，∴∠BEA＝90°，
∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，
∵四边形OABC是菱形，∴AB＝OA＝2，AB∥OC，∴∠EAB＝∠AOC＝60°，∴∠ABE＝30°，
，
由勾股定理得∴OE＝AE+OA＝1+2＝3，
∴点B的坐标是，
将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，
∴点B′的坐标为.
【题型2】菱形的性质与阴影面积
【典型例题】如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是(　　)
A.2 B. C.3 D.
【答案】B
【解析】AP，EF交于O点，∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，
∴△AEO的面积＝△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积＝AC·BD＝5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2＝.
【举一反三1】如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A. B. C.1 D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝，∴菱形ABCD的面积＝4××A'D×A'C＝2，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'FCE，且A'C＝AC，∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的，
∴阴影部分的面积＝＝.
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，∠BAD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A. B.6 C.9 D.
【答案】D
【解析】如图，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝6，∠DAC＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，
∴OD＝AD＝3，OA＝3，∴BD＝2OD＝6，AC＝2OA＝6，
观察图形得，阴影部分面积等于菱形面积的一半，∴S菱形＝AC BD＝×6×6＝18，
∴阴影部分面积＝×18＝9．
【举一反三3】如图，菱形ABCD的边长为2，较短的对角线BD的长为，P是BD上一点，PE∥AB，PF∥AD，分别交菱形两边于点E、F，则图中阴影部分面积为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在菱形ABCD中，∵PE∥AB，PF∥AD，∴四边形DEPF是菱形，∴S△DOE＝S△FOP，
∵菱形是轴对称图形，∴△ABP和△CBP面积相等，
∵菱形的对角线把菱形分成四个全等的三角形，∴阴影部分的面积等于菱形面积的一半，
∵AB＝2，BD＝，∴AC＝2＝3，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝，∴S阴影＝S菱形ABCD＝.
【题型3】菱形的判定
【典型例题】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(　　)
A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边
【答案】B
【解析】∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝FG＝EF＝HG＝BD＝AC，故AC＝BD.
【举一反三1】如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　)
A.AB＝AD B.AC＝BD C.AD＝BC D.AB＝CD
【答案】D
【解析】∵点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
【举一反三2】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.下列条件使四边形BECF为菱形的是(　　)
A.BE⊥CE B.BF∥CE C.BE＝CF D.AB＝AC
【答案】D
【解析】条件是AB＝AC，理由是：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴EF⊥BC，BD＝DC，
∵DE＝DF，∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，∴四边形BECF是菱形，选项A，B，C的条件都不能推出四边形BECF是菱形，即只有选项D正确.
【举一反三3】如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是______________________. (只填写序号)
【答案】①②③④
【解析】因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，则AD＝AB，∠1＝∠2，∠1＝∠4，则∠2＝∠4，∴AD＝DC，
同理可得：AB＝AD＝BC＝DC，所以四边形ABCD是菱形．
根据菱形的性质，可以得出以下结论：①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；③四边形ABCD是菱形，正确；
④在△ABD和△CDB中，∵AB=BC，AD=DC，BD=BD，∴△ABD≌△CDB(SSS)，正确．
【举一反三4】如图，在 ABCD中，G是BC边上一点，AB=AG，延长AG交DC的延长线于点E，过点D作DF∥AE交AB的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠B，AD∥BC，AB∥CD，
∵DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AGB，
∵AB=AG，∴∠B=∠AGB，
∵∠B=∠ADE，∴∠DAE=∠ADE，∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
【题型4】菱形的性质和判定
【典型例题】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　)
A.16 B.15 C.14 D.13
【答案】A
【解析】连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB＝EB，
同理AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16.
【举一反三1】如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M，N分别在BC，CD上，且AM＝AB，则∠C为(　　)
A.100° B.105° C.110° D.120°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，
∴∠DAB＋∠B＝180°，
∵△AMN是等边三角形，AM＝AB，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，
由三角形的内角和定理，得∠BAM＝∠NAD，设∠BAM＝∠NAD＝x，则∠D＝∠AND＝180°－60°－2x，
∵∠NAD＋∠D＋∠AND＝180°，∴x＋2(180°－60°－2x)＝180°，解得x＝20°，
∴∠C＝∠BAD＝2×20°＋60°＝100°.
【举一反三2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O，E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（　　）
A.4 B.3 C. D.2
【答案】D
【解析】连接DE．
在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5．
∵AB=AD，AE平分∠BAD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．
∴DE=BE=5．
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=BE+EC=8，
∴四边形ABED是菱形，
由勾股定理得出BD=＝4，∴BO=BD=2.
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为 ．
【答案】26
【解析】∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG＝GF＝DF＝BD，
∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得AC＝13，
∵BD为△ACB的中线，∴BD＝AC＝，∴BG＝GF＝DF＝BD＝，故四边形BDFG的周长＝4GF＝26.
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点(点D不与点A重合)，点E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，CF.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当点D是AB的中点时，若AB＝4，求四边形ADCF的周长．
【答案】解：(1)证明：∵点E是AC的中点，∴AE＝EC，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
(2)∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，
∴平行四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的周长是8.
【题型5】菱形的性质
【典型例题】如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO的度数是(　　)
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝OB，∠DAO＝∠BAO＝25°，∴∠ABO＝90°－∠BAO＝65°，
∵DH⊥AB，∴∠DHB＝90°，∴∠BDH＝90°－∠ABO＝25°，
在Rt△DHB中，∵OD＝OB，∴OH＝OD＝OB，∴∠DHO＝∠HDB＝25°.
【举一反三1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为(　　)
A.1 B.2 C.2－ D.2－2
【答案】C
【解析】∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，∴根据勾股定理，得AE=BE＝，
由折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，∴CB′＝2BE－BC＝2－2，
∵AB∥CD，∴∠FCB′＝∠B＝45°，又由折叠的性质知，∠B′＝∠B＝45°，∴CF＝FB′＝2－.
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过P作PM⊥CD于M，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，∴PF＝PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，∴P，E，M共线，∴PE+PF＝PE+PM＝ME，
∵AC＝8，BD＝6，∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3，∴AB＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝AB EM＝AC BD，∴5EM＝×6×8，∴EM＝．∴PE+PF的值为．
【举一反三3】在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为__________．
【答案】45°或105°
【解析】如图，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，∠ABC＝∠ADC＝150°，∴∠DBA＝∠DBC＝75°，
∵ED＝EB，∠DEB＝120°，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴∠EBC＝∠EBD＋∠DBC＝105°，
当点E′在BD右侧时，
∵∠DBE′＝30°，∴∠E′BC＝∠DBC－∠DBE′＝45°，
∴∠EBC＝105°或45°，
【举一反三4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE，CE，FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，求∠AFE的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，E点在对角线BD上，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝20°，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝EC，∠BEA＝∠BEC＝58°，
∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝140°，
在△ABE中，∵∠ABE＝20°，∠AEB＝58°，∴∠BAE＝180°﹣20°﹣58°＝102°，∴∠EAF＝140°﹣102°＝38°，
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE＝38°．
【题型6】菱形的性质与最小值
【典型例题】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）
A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于
【答案】B
【解析】如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝4，
∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°．
∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°．∴∠A＝∠CDB．
∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝4，
即AE+CF的长度保持不变恒等于4．
【举一反三1】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P.
∴EP＋FP＝EP＋F′P.
由两点之间线段最短可知，当E，P，F′在一条直线上时，EP＋FP的值最小，此时EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′.
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，∴DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值为3.
【举一反三2】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P.
∴EP＋FP＝EP＋F′P.
由两点之间线段最短可知，当E，P，F′在一条直线上时，EP＋FP的值最小，此时EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′.
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，∴DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值为3.
【举一反三3】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）
A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于
【答案】B
【解析】如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝4，
∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°．
∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°．∴∠A＝∠CDB．
∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝4，
即AE+CF的长度保持不变恒等于4．
【题型7】菱形的应用
【典型例题】如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4 cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　）
A.4 cm B.8 cm C. D.
【答案】C
【解析】连接CO，交AB于H，
∵四边形OACB是菱形，∠AOB＝120°，∴AB⊥OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，AH＝BH，AC＝BC＝AO＝4 cm，
∴∠BAO＝30°，∴OH＝AO＝2 cm，AH＝2 cm，∴AB＝2AH＝4 cm，
∴橡皮筋再次被拉长了（8﹣4） cm.
【举一反三1】我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为（　　）平方米．
A.4 B. C.1 D.
【答案】B
【解析】∵菱形窗户的边长为1米，较小的内角为60°，
∴菱形的一条对角线为1米，另一条为米，
∴菱形窗户的采光面积＝（平方米）.
【举一反三2】如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24 cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（　　）
A.12 cm B.24 cm C.16 cm D.20 cm
【答案】B
【解析】如图：
∵四边形ADHE和四边形BEIF是全等的菱形，∴AD＝AE＝BE，
又∵∠1＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝AB＝24 cm.
【举一反三3】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　）
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】C
【解析】如图，
∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，
∵BC∥AD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°.
【举一反三4】小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. B. C.a2 D.
【答案】B
【解析】过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝a，
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AH＝AB＝a，
∴菱形ABCD的面积＝BC AH＝a2．1.1菱形的性质与判定
【知识点1】菱形的判定与性质 1
【知识点2】菱形的判定 1
【知识点3】菱形的性质 2
【题型1】菱形的性质与坐标系 2
【题型2】菱形的性质与阴影面积 4
【题型3】菱形的判定 5
【题型4】菱形的性质和判定 6
【题型5】菱形的性质 7
【题型6】菱形的性质与最小值 8
【题型7】菱形的应用 9
【知识点1】菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）
（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
【知识点2】菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
【知识点3】菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
【题型1】菱形的性质与坐标系
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，4），则顶点B，C的坐标是（　　）
A.B（8，4），C（5，0） B.B（8，4），C（4，0） C.B（7，4），C（5，0） D.B（7，4），C（4，0）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD的对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝8，∠A＝60°，点C的坐标是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，，点B的坐标为（0，﹣3），则点A的坐标为（　　）
A. B.（3，0） C.（﹣6，0） D.（6，0）
【举一反三3】如图，四边形OABC是菱形，AC＝12，OB＝16，则顶点A坐标是 　 　．
【举一反三4】如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原点O，已知点A（﹣2，3），则点C的坐标为 　 　．
【举一反三5】如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣2，0），∠AOC＝60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形O′A′B′C′，求点B′的坐标.
【题型2】菱形的性质与阴影面积
【典型例题】如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是(　　)
A.2 B. C.3 D.
【举一反三1】如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点．若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A. B. C.1 D.
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，∠BAD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A. B.6 C.9 D.
【举一反三3】如图，菱形ABCD的边长为2，较短的对角线BD的长为，P是BD上一点，PE∥AB，PF∥AD，分别交菱形两边于点E、F，则图中阴影部分面积为(　　)
A. B. C. D.
【题型3】菱形的判定
【典型例题】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是(　　)
A.平行四边形 B.对角线相等的四边形 C.矩形 D.对角线互相垂直的四边
【举一反三1】如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　)
A.AB＝AD B.AC＝BD C.AD＝BC D.AB＝CD
【举一反三2】如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.下列条件使四边形BECF为菱形的是(　　)
A.BE⊥CE B.BF∥CE C.BE＝CF D.AB＝AC
【举一反三3】如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正确的是______________________. (只填写序号)
【举一反三4】如图，在 ABCD中，G是BC边上一点，AB=AG，延长AG交DC的延长线于点E，过点D作DF∥AE交AB的延长线于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
【题型4】菱形的性质和判定
【典型例题】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　)
A.16 B.15 C.14 D.13
【举一反三1】如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M，N分别在BC，CD上，且AM＝AB，则∠C为(　　)
A.100° B.105° C.110° D.120°
【举一反三2】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD，BC分别于点O，E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（　　）
A.4 B.3 C. D.2
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为 ．
【举一反三4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点(点D不与点A重合)，点E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，CF.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当点D是AB的中点时，若AB＝4，求四边形ADCF的周长．
【题型5】菱形的性质
【典型例题】如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO的度数是(　　)
A.20° B.25° C.30° D.35°
【举一反三1】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为(　　)
A.1 B.2 C.2－ D.2－2
【举一反三2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为__________．
【举一反三4】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE，CE，FE，若AE＝FE，∠BEC＝58°，求∠AFE的度数．
【题型6】菱形的性质与最小值
【典型例题】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）
A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于
【举一反三1】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　）
A.逐渐增加 B.恒等于4 C.先减小再增加 D.恒等于
【题型7】菱形的应用
【典型例题】如图，数学实践活动课上小明用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4 cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　）
A.4 cm B.8 cm C. D.
【举一反三1】我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1米（边框宽度忽略不计），其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为（　　）平方米．
A.4 B. C.1 D.
【举一反三2】如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24 cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（　　）
A.12 cm B.24 cm C.16 cm D.20 cm
【举一反三3】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（　　）
A.30° B.45° C.60° D.75°
【举一反三4】小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. B. C.a2 D.

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