资源简介

2.1认识一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的定义 1
【知识点2】一元二次方程的解 2
【知识点3】一元二次方程的一般形式 3
【题型1】一元二次方程的解 4
【题型2】列简单的一元二次方程 5
【题型3】一元二次方程的一般式 6
【题型4】一元二次方程的定义 8
【知识点1】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
1.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1=0 B． C．x2+y=3 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2.（2025春 沙坪坝区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x-2=0 B．x3+1=0 C．x2-6x-8=0 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A．x-2=0是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．x3+1=0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．x2-6x-8=0，是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．，是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【知识点2】一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
1.（2024秋 铜仁市期末）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-1，则a-b+c的值是（　　）
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
【答案】C
【分析】直接把x=-1代入方程就看得到a-b+c的值．
【解答】解：把x=-1代入方程ax2+bx+c=0（a≠0）得a-b+c=0．
故选：C．
2.（2025 东莞市模拟）若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】将方程的解x=1代入方程中求解即可．
【解答】解：∵x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，
∴1+m+1=0，解得m=-2，
故选：D．
【知识点3】一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
1.（2025春 香坊区校级期中）关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（　　）
A．3，-5，-2 B．3，-5x,2 C．3，5x,-2 D．3，-5，2
【答案】D
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，和常数项即可．
【解答】解：方程整理得：3x2-5x+2=0，
则二次项系数，一次项系数，和常数项分别为3，-5，2．
故选：D．
2.（2024秋 铜仁市期末）关于x的一元二次方程8x2+6x=3的常数项为（　　）
A．-3 B．0 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先将一元二次方程转化成一般式，根据常数项既不含x的项即可得到答案．
【解答】解：原方程可化为：8x2+6x-3=0，常数项为-3，
故选：A．
【题型1】一元二次方程的解
【典型例题】关于x的一元二次方程ax2-bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b-8a+3的值为(　　)
A.-3 B.3 C.6 D.9
【答案】D
【解析】把x=2代入，得4a-2b+3=0，所以4a-2b=-3，所以4b-8a+3=-2(4a-2b)+3=-2×(-3)+3=9．
故选：D.
【举一反三1】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=-1，则下列等式成立的是(　　)
A.a+b+c=0 B.a-b+c=0 C.-a-b+c=0 D.-a+b+c=0
【答案】B
【解析】把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0．
故选：B.
【举一反三2】若关于x的一元二次方程(k-2)x2+x+k2-4=0有一个根是0，则k的值是 ．
【答案】-2
【解析】把x=0代入(k-2)x2+x+k2-4=0，得k2-4=0，解得k1=-2，k2=2，
而k-2≠0即k≠2，所以k=-2．
【举一反三3】下列哪些数是方程x2+2x－8=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
【答案】解：将x=－4代入方程x2+2x－8=0，左边=(－4)2+(－4)×2－8=0，即左边=右边，故x=－4是方程x2+2x－8=0的根．
同理可得，当x=－3，－2，－1，0，1，3，4时，都不是方程x2+2x－8=0的根，
当x=2时，左边=右边，故x=－4，2都是方程x2+2x－8=0的根．
【举一反三4】先化简，再求值：÷(m+2－)．其中m是方程x2+3x－1=0的根．
【答案】解：原式=÷= ==，
∵m是方程x2+3x－1=0的根，∴m2+3m－1=0，即m2+3m=1，∴原式=．
【题型2】列简单的一元二次方程
【典型例题】如图，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是(　　)
A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0
【答案】C
【解析】设人行道的宽度为x m，根据题意得，(18-3x)(6-2x)=60，化简整理得，x2-9x+8=0．
故选：C.
【举一反三1】今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是(　　)
A.x(x-60)=1 600 B.x(x+60)=1 600 C.60(x+60)=1 600 D.60(x-60)=1 600
【答案】A
【解析】设扩大后的正方形绿地边长为x m，根据题意得x2-60x=1 600，即x(x-60)=1 600．
故选：A.
【举一反三2】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列方程为______________．
【答案】(x-2)(x-3)=20
【举一反三3】从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽m，竖着比城门高m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式．
【答案】解：设竹竿的长为x m．由题意得：(x-)2+(x-)2=x2，
即x2-4x+=0．
【题型3】一元二次方程的一般式
【典型例题】关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　)
A.0 B.±3 C.3 D.-3
【答案】C
【解析】将x2+mx=3x+5化为一般形式，得x2+(m-3)x-5=0，
∵关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，∴m-3=0，解得m=3．
故选：C.
【举一反三1】将方程3x2+5x=41化成一元二次方程的一般形式，正确的是(　　)
A.3x2+5x+41=0 B.3x2+5x-41=0 C.3x2-5x+41=0 D.3x2-5x-41=0
【答案】B
【举一反三2】将一元二次方程(3x-2)(x+1)=x(2x-1)化成一般形式后，它的一次项系数是(　　)
A.-2 B.2 C.-3 D.-1
【答案】B
【解析】去括号得3x2+3x-2x-2=2x2-x，
移项得3x2+3x-2x-2-2x2+x=0，
合并得x2+2x-2=0，
所以一元二次方程的一次项系数为2．
故选：B.
【举一反三3】将一元二次方程x2+3=2x化成一般形式是(　　)
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x+3=0 C.-x2+2x+3=0 D.x2-2x+3=0
【答案】D
【举一反三4】一元二次方程x(x-9)=-3化成一般形式为 ．
【答案】x2-9x+3=0
【解析】x(x-9)=-3，
x2-9x=-3，
x2-9x+3=0．
【举一反三5】已知一个一元二次方程的二次项是2y2，一次项系数是-3，常数项是-2，那么这个方程的一般形式是_____________．
【答案】2y2-3y-2=0
【举一反三6】一元二次方程x(x-9)=-3化成一般形式为 ．
【答案】x2-9x+3=0
【解析】x(x-9)=-3，
x2-9x=-3，
x2-9x+3=0．
【举一反三7】方程(3x+1)(2x-1)=x2+2化为一般形式为 ．
【答案】5x2-x-3=0
【解析】(3x+1)(2x-1)=x2+2，
6x2-3x+2x-1=x2+2，
6x2-3x+2x-1-x2-2=0，
5x2-x-3=0．
【题型4】一元二次方程的定义
【典型例题】若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A.m≠1 B.m=1 C.m＞1 D.m≠0
【答案】A
【解析】∵关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得m≠1．
故选：A.
【举一反三1】方程(m-2)x|m|-3x-7=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A.m=-2 B.m=2 C.m=±2 D.m≠±2
【答案】A
【解析】∵(m-2)x|m|-3x-7=0是一元二次方程，∴|m|=2，∴m=±2．
∵m-2≠0，∴m≠2，∴m=-2．
故选：A.
【举一反三2】已知 x+=0是关于x的一元二次方程，则k为________．
【答案】-2
【解析】由 x+=0是关于x的一元二次方程，得k2-2=2，且1-k≥0，解得k=-2．
【举一反三3】已知(m-1)x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
【答案】-1
【解析】∵方程(m-1)x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，∴|m|=1，m-1≠0，解得m=-1．
【举一反三4】已知关于x的方程：3x+＝2x，2x2+y=3，2x-x2=3，+x2＝3，x=27x2．
（1）其中为一元二次方程的有哪些；
（2）对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑．
【答案】解：（1）是一元二次方程的是2x-x2=3和x=27x2．
（2）一元二次方程必须满足四个条件：
①知数的最高次数是2；
②二次项系数不为0；
③是整式方程；
④含有一个未知数．由这四个条件对方程进行验证，满足这四个条件者为一元二次方程．2.1认识一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的定义 1
【知识点2】一元二次方程的解 2
【知识点3】一元二次方程的一般形式 2
【题型1】一元二次方程的解 2
【题型2】列简单的一元二次方程 3
【题型3】一元二次方程的一般式 4
【题型4】一元二次方程的定义 5
【知识点1】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
1.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+1=0 B． C．x2+y=3 D．
2.（2025春 沙坪坝区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x-2=0 B．x3+1=0 C．x2-6x-8=0 D．
【知识点2】一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
1.（2024秋 铜仁市期末）若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-1，则a-b+c的值是（　　）
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
2.（2025 东莞市模拟）若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【知识点3】一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
1.（2025春 香坊区校级期中）关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（　　）
A．3，-5，-2 B．3，-5x,2 C．3，5x,-2 D．3，-5，2
2.（2024秋 铜仁市期末）关于x的一元二次方程8x2+6x=3的常数项为（　　）
A．-3 B．0 C．6 D．8
【题型1】一元二次方程的解
【典型例题】关于x的一元二次方程ax2-bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b-8a+3的值为(　　)
A.-3 B.3 C.6 D.9
【举一反三1】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=-1，则下列等式成立的是(　　)
A.a+b+c=0 B.a-b+c=0 C.-a-b+c=0 D.-a+b+c=0
【举一反三2】若关于x的一元二次方程(k-2)x2+x+k2-4=0有一个根是0，则k的值是 ．
【举一反三3】下列哪些数是方程x2+2x－8=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
【举一反三4】先化简，再求值：÷(m+2－)．其中m是方程x2+3x－1=0的根．
【题型2】列简单的一元二次方程
【典型例题】如图，某小区有一块长为18m，宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是(　　)
A.x2+9x-8=0 B.x2-9x-8=0 C.x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=0
【举一反三1】今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1 600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是(　　)
A.x(x-60)=1 600 B.x(x+60)=1 600 C.60(x+60)=1 600 D.60(x-60)=1 600
【举一反三2】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列方程为______________．
【举一反三3】从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽m，竖着比城门高m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式．
【题型3】一元二次方程的一般式
【典型例题】关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　)
A.0 B.±3 C.3 D.-3
【举一反三1】将方程3x2+5x=41化成一元二次方程的一般形式，正确的是(　　)
A.3x2+5x+41=0 B.3x2+5x-41=0 C.3x2-5x+41=0 D.3x2-5x-41=0
【举一反三2】将一元二次方程(3x-2)(x+1)=x(2x-1)化成一般形式后，它的一次项系数是(　　)
A.-2 B.2 C.-3 D.-1
【举一反三3】将一元二次方程x2+3=2x化成一般形式是(　　)
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x+3=0 C.-x2+2x+3=0 D.x2-2x+3=0
【举一反三4】一元二次方程x(x-9)=-3化成一般形式为 ．
【举一反三5】已知一个一元二次方程的二次项是2y2，一次项系数是-3，常数项是-2，那么这个方程的一般形式是_____________．
【举一反三6】一元二次方程x(x-9)=-3化成一般形式为 ．
【举一反三7】方程(3x+1)(2x-1)=x2+2化为一般形式为 ．
【题型4】一元二次方程的定义
【典型例题】若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A.m≠1 B.m=1 C.m＞1 D.m≠0
【举一反三1】方程(m-2)x|m|-3x-7=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A.m=-2 B.m=2 C.m=±2 D.m≠±2
【举一反三2】已知 x+=0是关于x的一元二次方程，则k为________．
【举一反三3】已知(m-1)x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
【举一反三4】已知关于x的方程：3x+＝2x，2x2+y=3，2x-x2=3，+x2＝3，x=27x2．
（1）其中为一元二次方程的有哪些；
（2）对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑．

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